Mitternachtsformel-Rechner

Die Mitternachtsformel (auch abc-Formel) löst quadratische Gleichungen der Form ax² + bx + c = 0. Die Formel lautet: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a). Sie heißt 'Mitternachtsformel', weil Schüler sie so oft üben, dass sie sie selbst um Mitternacht aufsagen können.

Die Mitternachtsformel (abc-Formel) löst ax² + bx + c = 0 direkt. Die pq-Formel löst x² + px + q = 0 (Normalform, a=1). Für die pq-Formel muss zuerst durch a geteilt werden. Beide Formeln führen zum gleichen Ergebnis. Die abc-Formel ist universeller, die pq-Formel oft einfacher zu rechnen.

Die Diskriminante D = b² - 4ac bestimmt die Anzahl der Lösungen: D > 0: zwei verschiedene reelle Lösungen. D = 0: genau eine Lösung (Doppellösung, Parabel berührt x-Achse). D < 0: keine reellen Lösungen (Parabel schneidet x-Achse nicht, nur komplexe Lösungen).

Bringe die Gleichung in die Form ax² + bx + c = 0. Dann: a = Koeffizient vor x², b = Koeffizient vor x, c = Konstante ohne x. Beispiel: 3x² - 6x + 2 = 0 → a=3, b=-6, c=2. Bei 2x² = 8 → umformen zu 2x² - 8 = 0 → a=2, b=0, c=-8.

Der Scheitelpunkt ist der höchste (a<0) oder tiefste (a>0) Punkt der Parabel. Die Scheitelpunktform lautet y = a(x - xS)² + yS. Berechnung: xS = -b/(2a), yS = c - b²/(4a). Der Scheitelpunkt ist auch der Wendepunkt der Parabel und liegt auf der Symmetrieachse.

Wenn die Diskriminante D = b² - 4ac negativ ist, gibt es keine reellen Lösungen. Geometrisch bedeutet das: Die Parabel schneidet die x-Achse nicht. Beispiel: x² + 1 = 0 → D = 0 - 4 = -4 < 0. Die Parabel liegt komplett über der x-Achse. Es gibt nur komplexe Lösungen (mit imaginärer Einheit i).

Achten Sie auf Vorzeichen: -b wird bei negativem b positiv (z. B. b=-3 → -b=3). Bei b² ist das Ergebnis immer positiv. Bei 4ac beachten: negatives a oder c kann das Vorzeichen ändern. Beispiel: a=2, c=-5 → 4ac = 4×2×(-5) = -40. Dann: b² - 4ac = b² - (-40) = b² + 40.

Das ± (plus-minus) Zeichen bedeutet, dass zwei Lösungen berechnet werden: x₁ mit + und x₂ mit -. x₁ = (-b + √D) / (2a) und x₂ = (-b - √D) / (2a). Bei D=0 sind beide Lösungen gleich (Doppellösung). Bei D<0 gibt es keine reellen Lösungen.

Setzen Sie die gefundenen x-Werte in die Originalgleichung ein. Das Ergebnis muss 0 sein. Beispiel: Für 2x² - 4x - 6 = 0 mit x=3: 2×9 - 4×3 - 6 = 18 - 12 - 6 = 0 ✓. Alternative: Multiplizieren Sie (x-x₁)(x-x₂) aus und vergleichen Sie mit der Originalgleichung.

Häufige Fehler: 1) Vorzeichenfehler bei -b (besonders bei negativem b). 2) Vergessen, durch 2a zu teilen (nicht nur 2). 3) Fehler bei der Diskriminante (b² - 4ac, nicht b² - 4a×c). 4) Nur eine Lösung angeben statt zwei. 5) Nicht in Normalform bringen vor dem Ablesen von a, b, c.

Die Berechnungen basieren auf aktuellen mathematischen Formeln und Standards. Die Genauigkeit hängt von der Qualität der eingegebenen Daten ab. Für rechtlich bindende Berechnungen sollten Sie einen Fachexperten konsultieren.

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