Natürlicher Logarithmus Rechner

Der natürliche Logarithmus (ln) ist der Logarithmus zur Basis e ≈ 2,71828 (Eulersche Zahl). Er beantwortet die Frage: 'Mit welcher Potenz muss ich e potenzieren, um eine bestimmte Zahl zu erhalten?' Beispiel: ln(e) = 1, weil e¹ = e. ln ist fundamental in Mathematik, Physik und Wirtschaft.

Die Eulersche Zahl e ≈ 2,71828... ist eine irrationale, transzendente Zahl mit unendlich vielen nicht-periodischen Nachkommastellen. sie ist die Basis des natürlichen Logarithmus und der natürlichen Exponentialfunktion. e erscheint in Wachstumsprozessen, Zinseszins, Wahrscheinlichkeitsrechnung und vielen Naturgesetzen.

Die Umrechnung erfolgt mit dem Basiswechselsatz: ln(x) = log₁₀(x) / log₁₀(e) = log₁₀(x) × 2,303. Umgekehrt: log₁₀(x) = ln(x) / ln(10) = ln(x) × 0,4343. Taschenrechner haben meist beide Funktionen (ln und log oder log₁₀).

Die Logarithmusgesetze: ln(a × b) = ln(a) + ln(b) (Produktregel), ln(a / b) = ln(a) - ln(b) (Quotientenregel), ln(aⁿ) = n × ln(a) (Potenzregel), ln(1) = 0, ln(e) = 1, ln(eⁿ) = n. Diese Regeln vereinfachen komplexe Berechnungen erheblich.

Anwendungen von ln: Exponentielles Wachstum und Zerfall (Radioaktivität, Bakterienwachstum), Zinseszinsrechnung, Informationstheorie (Entropie), Thermodynamik, Statistik (Likelihood), Integration (∫1/x dx = ln|x| + C), Lösen von Exponentialgleichungen, Normierung in Machine Learning.

Die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist: (ln x)' = 1/x. Dies gilt für x > 0. Bei verketteten Funktionen gilt mit Kettenregel: (ln f(x))' = f'(x) / f(x). Beispiel: (ln(x²))' = 2x / x² = 2/x. Die Integration liefert umgekehrt: ∫(1/x) dx = ln|x| + C.

ln(0) ist nicht definiert, weil es keine reelle Zahl n gibt, für die e^n = 0 gilt. Die Exponentialfunktion e^x ist immer positiv. Für x → 0⁺ gilt: ln(x) → -∞. Der Definitionsbereich von ln ist daher x > 0. Auch ln von negativen Zahlen ist im Reellen nicht definiert.

ln (natürlicher Logarithmus) hat Basis e ≈ 2,718. log oder log₁₀ (dekadischer Logarithmus) hat Basis 10. lg (Logarithmus dualis/binärer Log) hat Basis 2. In der Mathematik/Physik dominiert ln, in der Informatik log₂, im Alltag (Dezibel, pH-Wert) log₁₀.

Um ln-Gleichungen zu lösen, wende die Umkehrfunktion e^x an. Beispiel: ln(x) = 3 → e^(ln(x)) = e³ → x = e³ ≈ 20,09. Bei ln(x) + ln(y) = 5 nutze Logarithmusgesetze: ln(xy) = 5 → xy = e⁵. Immer prüfen: Ist das Ergebnis > 0 (Definitionsbereich)?

Wichtige Werte: ln(1) = 0, ln(e) = 1, ln(e²) = 2, ln(10) ≈ 2,303, ln(2) ≈ 0,693, ln(3) ≈ 1,099. Halbwertszeit: t½ = ln(2)/λ. Verdopplungszeit bei Zinsen: t = ln(2)/r. Diese Werte helfen bei schnellen Überschlagsrechnungen.

Die Berechnungen basieren auf aktuellen mathematischen Formeln und Standards. Die Genauigkeit hängt von der Qualität der eingegebenen Daten ab. Für rechtlich bindende Berechnungen solltest du einen Fachexperten konsultieren.

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