Nullstellen berechnen

Nullstellen sind die x-Werte, bei denen die Funktion den Wert 0 annimmt: f(x) = 0. Grafisch sind es die Schnittpunkte des Graphen mit der x-Achse. Jede Funktion kann keine, eine, mehrere oder unendlich viele Nullstellen haben.

Bei f(x) = mx + b setze f(x) = 0 und löse nach x auf: 0 = mx + b → x = -b/m. Beispiel: f(x) = 2x + 6 → 0 = 2x + 6 → x = -3. Eine lineare Funktion hat genau eine Nullstelle (außer m = 0).

Für f(x) = ax² + bx + c gibt es mehrere Methoden: pq-Formel (x = -p/2 ± √((p/2)² - q)), abc-Formel/Mitternachtsformel (x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a), Faktorisieren, quadratische Ergänzung. Die Diskriminante D = b² - 4ac bestimmt die Anzahl der Lösungen.

D = b² - 4ac bei quadratischen Gleichungen: D > 0: Zwei verschiedene reelle Nullstellen. D = 0: Eine doppelte Nullstelle (Parabel berührt x-Achse). D < 0: Keine reellen Nullstellen (Parabel schneidet x-Achse nicht), nur komplexe Lösungen.

Methoden: 1. Raten einer Nullstelle (x₁), 2. Polynomdivision durch (x - x₁), 3. Quadratische Restfunktion mit pq-Formel lösen. Cardanische Formel für allgemeine Lösung (kompliziert). Eine kubische Funktion hat immer mindestens eine reelle Nullstelle.

Ein numerisches Verfahren zur Nullstellenapproximation: x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n). Startet mit Schätzwert x₀ und nähert sich iterativ der Nullstelle. Konvergiert schnell, braucht aber guten Startwert. Für komplexe Funktionen oft einzige Möglichkeit.

Bei f(x) = Zähler/Nenner: Setze nur den Zähler = 0 und löse. Nullstellen des Nenners sind keine Nullstellen, sondern Definitionslücken (Division durch 0). Prüfe, ob Zähler-Nullstellen nicht auch Nenner-Nullstellen sind (hebbare Lücke).

Die Funktion e^x hat keine Nullstelle (immer > 0). Bei f(x) = e^x · g(x): Nullstellen kommen nur von g(x) = 0. Beispiel: f(x) = e^x · (x - 2): Nullstelle bei x = 2, da e^x ≠ 0. Bei ln(x): Nullstelle bei x = 1, da ln(1) = 0.

sin(x) = 0 bei x = n·π (n ∈ ℤ), also bei 0, π, 2π, ... cos(x) = 0 bei x = π/2 + n·π, also bei π/2, 3π/2, ... Für sin(bx + c) = 0: Löse bx + c = n·π nach x. Die Periodizität beachten!

Für x² + px + q = 0 mit Nullstellen x₁ und x₂ gilt: x₁ + x₂ = -p (Summe) und x₁ · x₂ = q (Produkt). Damit kann man Nullstellen prüfen oder aus bekannten Nullstellen die Gleichung rekonstruieren. Beispiel: x₁ = 2, x₂ = 3 → p = -5, q = 6.

Die Berechnungen basieren auf aktuellen mathematischen Formeln und Standards. Die Genauigkeit hängt von der Qualität der eingegebenen Daten ab. Für rechtlich bindende Berechnungen sollten Sie einen Fachexperten konsultieren.

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