Modulo-Rechner

Die Modulo-Operation (geschrieben als a mod b oder a % b) berechnet den Rest einer Division. Zum Beispiel: 17 mod 5 = 2, weil 17 ÷ 5 = 3 Rest 2. Die Modulo-Operation ist fundamental in der Mathematik und Informatik und wird für zyklische Berechnungen, Prüfziffern und Hash-Funktionen verwendet.

Bei negativen Zahlen gibt es unterschiedliche Definitionen je nach Programmiersprache. Mathematisch folgt das Vorzeichen dem Divisor: (-7) mod 3 = 2. In Python ergibt -7 % 3 = 2, während in JavaScript, Java und C++ -7 % 3 = -1 ergibt. Unser Rechner folgt der mathematischen Definition und zeigt auch die Ergebnisse verschiedener Programmiersprachen an.

Modulo wird vielfältig eingesetzt: Prüfung auf gerade/ungerade Zahlen (n % 2), Array-Index-Wrapping (index % arrayLength), Wochentag-Berechnung (tag % 7), Hash-Funktionen, Zufallszahlengenerierung, Prüfziffern-Algorithmen (ISBN, IBAN) und zyklische Berechnungen. Es ist eine der wichtigsten Operationen in der Computerwissenschaft.

Restklassen sind Mengen von Zahlen, die bei Division durch eine feste Zahl n denselben Rest haben. Zum Beispiel bilden bei mod 3 die Zahlen {..., -6, -3, 0, 3, 6, 9, ...} die Restklasse 0. Es gibt genau n Restklassen (0 bis n-1) für eine positive ganze Zahl n. Restklassen sind fundamental für die Zahlentheorie und Kryptographie.

Für große Zahlen nutzt man die Eigenschaften der Modulo-Operation: (a + b) mod n = ((a mod n) + (b mod n)) mod n und (a × b) mod n = ((a mod n) × (b mod n)) mod n. Diese Regeln erlauben es, große Berechnungen in kleinere Schritte zu zerlegen und sind essentiell für die Kryptographie und Computeralgebra.

Die Division a ÷ b gibt den Quotienten (wie oft b in a passt), während Modulo a mod b den Rest gibt. Beide hängen zusammen: a = (a ÷ b) × b + (a mod b). Zum Beispiel: 17 ÷ 5 = 3 (Quotient) und 17 mod 5 = 2 (Rest). Unser Rechner zeigt beide Werte für ein vollständiges Verständnis der Division.

Modulo ist fundamental für moderne Verschlüsselung: RSA-Algorithmus basiert auf Potenzierung modulo großer Primzahlen (c = m^e mod n), Diffie-Hellman Schlüsselaustausch nutzt modulare Exponentiation, Hash-Funktionen verwenden Modulo für feste Ausgabelängen. Die Sicherheit beruht darauf, dass große Modulo-Berechnungen leicht, aber deine Umkehrung (diskreter Logarithmus) extrem schwierig ist. Auch Prüfziffern (ISBN, IBAN, Kreditkarten) nutzen Modulo für schnelle Fehlerprüfung.

Prüfziffern verwenden Modulo zur Fehlererkennung: ISBN-10 nutzt mod 11 (Summe gewichteter Ziffern muss durch 11 teilbar sein), IBAN verwendet mod 97 (Restwert muss 1 ergeben), Kreditkarten nutzen den Luhn-Algorithmus mit mod 10. Diese Systeme erkennen Tippfehler und Zahlendreher zuverlässig. Beispiel IBAN: Umstellen, Buchstaben in Zahlen wandeln, mod 97 berechnen. Ergebnis muss 1 sein. Modulo ermöglicht so eine schnelle Plausibilitätsprüfung ohne Datenbankabfrage.

Die Berechnungen basieren auf aktuellen mathematischen Formeln und Standards. Die Genauigkeit hängt von der Qualität der eingegebenen Daten ab. Für rechtlich bindende Berechnungen solltest du einen Fachexperten konsultieren.

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