Merkregel 1. & 2.: Quadrat der Summe/Differenz = Summe der Quadrate ± doppeltes Produkt
Häufig gestellte Fragen zum Algebra-Rechner
Was ist Algebra in einfachen Worten?
Algebra ist der Bereich der Mathematik, der sich mit Variablen, Gleichungen und deren Lösungen befasst. Variablen (x, y, z) stehen für unbekannte Zahlen. Algebraische Ausdrücke werden vereinfacht, umgeformt und gelöst.
Wie löse ich eine lineare Gleichung?
Das Ziel ist, die Variable zu isolieren. Löse zuerst Klammern auf, fasse gleichartige Terme zusammen, bringe Variablenterme auf eine Seite und Konstanten auf die andere Seite. Bei 2x + 3 = 7 folgt 2x = 4 und damit x = 2.
Was ist die Diskriminante?
Die Diskriminante D = b² - 4ac bestimmt bei quadratischen Gleichungen ax² + bx + c = 0 die Anzahl der Lösungen: D > 0: zwei reelle Lösungen, D = 0: eine doppelte Lösung, D < 0: keine reellen, aber zwei komplexe Lösungen.
Was ist der Unterschied zwischen Ausdruck und Gleichung?
Ein Ausdruck (Term) wie 2x + 3 hat keinen Wert, sondern wird vereinfacht. Eine Gleichung wie 2x + 3 = 7 setzt zwei Ausdrücke gleich und wird nach der Variable gelöst.
Was sind äquivalente Umformungen?
Äquivalente Umformungen ändern die Lösungsmenge nicht: Addition/Subtraktion auf beiden Seiten, Multiplikation/Division mit Zahlen ungleich Null. Nicht äquivalent: Multiplikation mit 0, Quadrieren (kann Scheinlösungen erzeugen).
Was sind komplexe Lösungen?
Wenn die Diskriminante negativ ist, gibt es keine reellen Lösungen, aber zwei konjugiert komplexe: x = (-b ± sqrt(D))/(2a) mit sqrt(D) = i·sqrt(|D|). Komplexe Zahlen haben die Form a + bi mit i = sqrt(-1).
Wie überprüfe ich meine Lösung?
Setze die gefundene Lösung in die Originalgleichung ein (Probe). Beide Seiten müssen den gleichen Wert ergeben. Dies ist besonders wichtig bei Bruchgleichungen (Definitionsmenge prüfen) und beim Quadrieren (Scheinlösungen erkennen).
Welche Reihenfolge ist beim Umformen sinnvoll?
Eine robuste Reihenfolge ist: Klammern auflösen, gleichartige Terme zusammenfassen, Brüche oder Dezimalzahlen beseitigen, Variablenterme bündeln, Konstanten bündeln und zuletzt durch den Koeffizienten teilen. Vor dem Rechnen sollte die Definitionsmenge feststehen.
Warum entstehen beim Quadrieren Scheinlösungen?
Beim Quadrieren geht Vorzeicheninformation verloren. Aus a = b folgt zwar a² = b², aber aus a² = b² folgt nicht automatisch a = b. Deshalb können nach dem Quadrieren Werte entstehen, die die ursprüngliche Gleichung nicht erfüllen. Die Probe in der Ausgangsgleichung ist Pflicht.
Was muss ich bei Bruchgleichungen beachten?
Nenner dürfen nie 0 werden. Bestimme deshalb zuerst alle ausgeschlossenen Werte. Erst danach kannst du mit dem Hauptnenner multiplizieren. Nach dem Lösen müssen alle Kandidaten geprüft werden, weil ein ausgeschlossener Wert keine gültige Lösung ist.