Ausklammern-Rechner

Klammere Terme aus und faktorisiere algebraische Ausdrücke. Mit Schritt-für-Schritt-Erklärung

Ausklammern

Gib die Koeffizienten und Variablen ein

Ergebnis

Gib Terme ein und klammere aus

Ausklammern und Faktorisieren

Vorgehensweise

• ggT aller Koeffizienten bestimmen
• Gemeinsame Variable bestimmen
• ggT vor die Klammer schreiben
• Jeden Term durch den ggT teilen
• Probe: Ausmultiplizieren zur Kontrolle

Beispiele

• 6x + 9 = 3(2x + 3)
• 4x² + 8x = 4x(x + 2)
• 15ab + 10b = 5b(3a + 2)
• 12x³ + 18x² + 6x = 6x(2x² + 3x + 1)

Wie berechne ich das?

ƒAusklammern (Faktorisieren)

ab + ac = a(b + c)

Variablen

a

Gemeinsamer Faktor-ggT der Koeffizienten

b, c

Verbleibende Terme-Nach Division durch den Faktor

Die drei binomischen Formeln

Grundlegende algebraische Identitäten

Nr.	Formel	Beispiel
1.	(a + b)² = a² + 2ab + b²	(x + 3)² = x² + 6x + 9
2.	(a - b)² = a² - 2ab + b²	(x - 4)² = x² - 8x + 16
3.	(a + b)(a - b) = a² - b²	(x + 5)(x - 5) = x² - 25

Merkregel 1. & 2.: Quadrat der Summe/Differenz = Summe der Quadrate ± doppeltes Produkt

Potenzgesetze

Regeln für das Rechnen mit Potenzen

Regel	Formel	Beispiel
Gleiche Basis (Mult.)	aⁿ · aᵐ = aⁿ⁺ᵐ	2³ · 2⁴ = 2⁷ = 128
Gleiche Basis (Div.)	aⁿ / aᵐ = aⁿ⁻ᵐ	3⁵ / 3² = 3³ = 27
Potenz einer Potenz	(aⁿ)ᵐ = aⁿ·ᵐ	(2²)³ = 2⁶ = 64
Produkt-Potenz	(a·b)ⁿ = aⁿ · bⁿ	(2·3)² = 4 · 9 = 36
Quotient-Potenz	(a/b)ⁿ = aⁿ / bⁿ	(6/2)³ = 216/8 = 27
Negative Exponenten	a⁻ⁿ = 1/aⁿ	2⁻³ = 1/8 = 0,125
Exponent 0	a⁰ = 1	5⁰ = 1

Diese Regeln gelten für alle a ≠ 0

Häufig gestellte Fragen zum Ausklammern-Rechner

Was bedeutet Ausklammern?

Ausklammern (Faktorisieren) ist das Umkehren des Ausmultiplizierens. Man findet den größten gemeinsamen Faktor (ggT) aller Terme und schreibt ihn vor die Klammer. Beispiel: 6x + 9 = 3(2x + 3). Es vereinfacht Terme und hilft beim Lösen von Gleichungen.

Wie finde ich den ggT zum Ausklammern?

Bestimme den ggT der Koeffizienten und den kleinsten gemeinsamen Variablenexponenten. Beispiel: 12x³ + 18x² hat ggT(12,18) = 6 und gemeinsame Variable x² (kleinster Exponent). Also: 6x²(2x + 3).

Was ist der Unterschied zwischen Ausklammern und Faktorisieren?

Ausklammern ist eine spezielle Form des Faktorisierens. Faktorisieren umfasst zusätzlich: binomische Formeln (a² - b² = (a+b)(a-b)), quadratische Ergänzung, Polynomdivision und Gruppierung. Ausklammern ist meist der erste Schritt.

Kann man auch negative Faktoren ausklammern?

Ja, manchmal ist es sinnvoll, einen negativen Faktor auszuklammern, z. B. um eine bestimmte Form zu erhalten. Beispiel: -6x + 12 = -6(x - 2). Das ändert alle Vorzeichen in der Klammer.

Was ist die Probe beim Ausklammern?

Zur Kontrolle multipliziert man das Ergebnis wieder aus. Wenn man zum ursprünglichen Ausdruck zurückkommt, ist das Ausklammern korrekt. Beispiel: 3(2x + 3) = 6x + 9 (stimmt mit Original überein).

Wann kann man nicht ausklammern?

Wenn die Terme keinen gemeinsamen Faktor haben (ggT = 1), kann man nichts ausklammern. Beispiel: 5x + 7y hat keine gemeinsamen Faktoren. In solchen Fällen sind andere Faktorisierungsmethoden nötig.

Wie klammere ich Variablen mit verschiedenen Exponenten aus?

Man nimmt den kleinsten vorkommenden Exponenten. Beispiel: x⁴ + x³ + x² = x²(x² + x + 1). Bei 6a²b + 9ab² klammert man 3ab aus: 3ab(2a + 3b). Der ausgeklammerte Faktor enthält den minimalen Exponenten jeder Variable.

Welche Terme muss ich vor dem Ausklammern zusammenfassen?

Fasse zuerst gleichartige Terme zusammen. Nur Terme mit denselben Variablen und denselben Exponenten dürfen zusammengefasst werden. Danach lässt sich der gemeinsame Faktor leichter erkennen. Ungleichartige Terme wie 3x und 3y bleiben getrennt.

Wie erkenne ich den größten gemeinsamen Faktor bei Variablen?

Bei Zahlen nimmst du den größten gemeinsamen Teiler der Koeffizienten. Bei Variablen nimmst du nur die Variablen, die in jedem Term vorkommen, jeweils mit dem kleinsten Exponenten. Aus 12x³y und 18x²y² wird deshalb 6x²y ausgeklammert.

Warum hilft Ausklammern beim Lösen von Gleichungen?

Durch Ausklammern kann aus einer Summe ein Produkt werden. Dann lässt sich die Nullproduktregel nutzen. Wenn ein Produkt gleich 0 ist, muss mindestens ein Faktor gleich 0 sein. So werden Nullstellen und Lösungswege oft sichtbar.

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Ergebnis

Ausklammern und Faktorisieren

Vorgehensweise

Beispiele

Wie berechne ich das?

ƒAusklammern (Faktorisieren)

Variablen

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