Boolesche-Algebra-Rechner

Berechne vollständige Wahrheitstabellen für boolesche Ausdrücke mit AND, OR und NOT. Auch XOR, NAND und NOR werden zuverlässig Zeile für Zeile ausgewertet.

Boolesche Operation

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Wahrheitstabelle

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Boolesche Algebra

Gesetze

• Kommutativgesetz: A · B = B · A
• Assoziativgesetz: (A · B) · C = A · (B · C)
• Distributivgesetz: A · (B + C) = A·B + A·C
• De Morgan: ¬(A · B) = ¬A + ¬B
• De Morgan: ¬(A + B) = ¬A · ¬B

Anwendungen

• Digitaltechnik (Logikgatter)
• Programmierung (if-Bedingungen)
• Datenbanken (SQL WHERE-Klauseln)
• Suchmaschinen (Boolesche Suche)
• Schaltungsentwurf

Wie berechne ich das?

ƒBoolesche Operationen

A \land B, \; A \lor B, \; \lnot A, \; A \oplus B

Variablen

\land

AND-Konjunktion: wahr wenn beide wahr

\lor

OR-Disjunktion: wahr wenn mindestens eins wahr

\lnot

NOT-Negation: invertiert den Wert

\oplus

XOR-Exklusiv-Oder: wahr wenn genau eins wahr

Zahlensysteme

Dezimal, Binär, Oktal, Hexadezimal

Dezimal	Binär	Oktal	Hexadezimal
0	0000	0	0
1	0001	1	1
5	0101	5	5
8	1000	10	8
10	1010	12	A
15	1111	17	F
16	10000	20	10
100	1100100	144	64
255	11111111	377	FF

Basis: Dezimal=10, Binär=2, Oktal=8, Hexadezimal=16

Häufig gestellte Fragen zum Boolesche-Algebra-Rechner

Was ist boolesche Algebra?

Die boolesche Algebra beschreibt logische Operationen mit den Werten 0 (falsch) und 1 (wahr). Grundoperationen sind AND (Konjunktion), OR (Disjunktion) und NOT (Negation). Boolesche Algebra bildet die Grundlage der Digitaltechnik und Programmierung.

Was ist eine Wahrheitstabelle?

Eine Wahrheitstabelle listet alle möglichen Kombinationen der Eingangswerte und das zugehörige Ergebnis auf. Bei n Variablen gibt es 2^n Zeilen. Bei 2 Variablen sind es 4 Zeilen mit 00, 01, 10 und 11. Diese Tabelle definiert die logische Funktion vollständig.

Was sind die De-Morgan-Gesetze?

Die De-Morgan-Gesetze beschreiben die Negation zusammengesetzter Ausdrücke. NOT(A AND B) ist gleich NOT A OR NOT B. NOT(A OR B) ist gleich NOT A AND NOT B. Diese Regeln helfen beim Vereinfachen logischer Ausdrücke und beim Umformen von NAND- und NOR-Schaltungen.

Was ist der Unterschied zwischen XOR und OR?

OR (inklusives Oder) ist wahr, wenn mindestens ein Eingang wahr ist (auch wenn beide wahr sind). XOR (exklusives Oder) ist wahr, wenn genau ein Eingang wahr ist (nicht wenn beide wahr sind). XOR wird für Paritätsprüfung und Verschlüsselung verwendet.

Warum ist NAND ein universelles Gatter?

Aus NAND-Gattern allein können alle anderen logischen Funktionen aufgebaut werden: NOT A = A NAND A, A AND B = (A NAND B) NAND (A NAND B), A OR B = (A NAND A) NAND (B NAND B). Deshalb werden in der Praxis oft nur NAND-Gatter für komplette Schaltungen verwendet.

Was ist eine Disjunktive Normalform (DNF)?

Die DNF ist eine standardisierte Darstellung als OR-Verknüpfung von AND-Termen (Mintermen). Jede Zeile der Wahrheitstabelle mit Ergebnis 1 wird als AND-Term geschrieben, dann werden alle diese Terme mit OR verknüpft.

Wie vereinfache ich boolesche Ausdrücke?

Methoden: 1) Algebraische Vereinfachung mit booleschen Gesetzen, 2) Karnaugh-Diagramme (bis 4 Variablen), 3) Quine-McCluskey-Verfahren (automatisierbar). Ziel ist die minimale Anzahl von Gattern in der Schaltung.

Welche Werte darf ein boolescher Ausdruck haben?

Ein boolescher Ausdruck hat in der klassischen booleschen Algebra genau zwei mögliche Werte. 0 steht für falsch, 1 steht für wahr. Jede Variable braucht für eine konkrete Auswertung einen dieser beiden Werte. Zwischenwerte gehören nicht zu diesem Modell.

Wie prüfe ich, ob zwei boolesche Ausdrücke gleichwertig sind?

Am sichersten ist eine Wahrheitstabelle mit allen Eingangskombinationen. Wenn die Ergebnis-Spalten in jeder Zeile identisch sind, sind die Ausdrücke äquivalent. Zusätzlich lassen sich boolesche Gesetze nutzen, um beide Ausdrücke algebraisch auf dieselbe Form zu bringen.

Was ist der Unterschied zwischen DNF und KNF?

Die DNF ist eine Oder-Verknüpfung von Und-Termen und orientiert sich an den Zeilen der Wahrheitstabelle, in denen das Ergebnis wahr ist. Die KNF ist eine Und-Verknüpfung von Oder-Termen und orientiert sich an den Zeilen, in denen das Ergebnis falsch ist.

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