z = (x - μ) / σ | Z-Wert standardisiert auf μ=0, σ=1
Standardabweichung interpretieren
Bedeutung der Standardabweichung bei Normalverteilung
Bereich
Anteil der Daten
Bedeutung
μ ± 1σ
68,27 %
Etwa 2/3 aller Werte
μ ± 2σ
95,45 %
Fast alle Werte
μ ± 3σ
99,73 %
Nahezu alle Werte
μ ± 4σ
99,99 %
Praktisch alle Werte
μ = Mittelwert, σ = Standardabweichung. Gilt für Normalverteilung.
Häufig gestellte Fragen zum Normalverteilung-Rechner
Was ist die Normalverteilung?
Die Normalverteilung ist eine zentrale Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Statistik. Die Kurve ist glockenförmig und symmetrisch um den Mittelwert µ. Vollständig beschrieben wird die Verteilung durch den Mittelwert µ und die Standardabweichung σ.
Was besagt die 68-95-99,7-Regel?
Bei einer Normalverteilung liegen ca. 68,27 % der Werte innerhalb von 1 Standardabweichung um den Mittelwert, ca. 95,45 % innerhalb von 2 Standardabweichungen und ca. 99,73 % innerhalb von 3 Standardabweichungen. Diese Regel ermöglicht schnelle Plausibilitätschecks.
Was ist die Standardnormalverteilung?
Die Standardnormalverteilung hat Mittelwert mu = 0 und Standardabweichung sigma = 1. Jede Normalverteilung kann durch z-Transformation standardisiert werden: z = (x - mu) / sigma. Die z-Tabelle gibt die Wahrscheinlichkeiten der Standardnormalverteilung an.
Wie berechne ich die kumulative Verteilungsfunktion?
Die kumulative Verteilungsfunktion (CDF) Phi(z) gibt P(X ≤ x) an. Berechnet wird sie über die erf-Funktion (Fehlerfunktion): Phi(z) = 0,5 · (1 + erf(z/sqrt(2))). Für die Standardnormalverteilung gibt es Tabellen und numerische Approximationen.
Warum ist die Normalverteilung so wichtig?
Der Zentrale Grenzwertsatz besagt, dass die Summe vieler unabhängiger Zufallsvariablen annähernd normalverteilt ist, unabhängig von deren Einzelverteilung. Deshalb treten Normalverteilungen überall auf: Messfehler, biologische Merkmale, Testergebnisse.
Was ist der Unterschied zwischen PDF und CDF?
Die PDF (Dichtefunktion) f(x) gibt die Wahrscheinlichkeitsdichte an einem Punkt an. Die CDF (kumulative Verteilungsfunktion) F(x) = P(X ≤ x) gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass X kleiner oder gleich x ist. Die CDF ist das Integral der PDF.
Wie teste ich auf Normalverteilung?
Methoden: Shapiro-Wilk-Test (am besten für kleine Stichproben), Kolmogorov-Smirnov-Test, QQ-Plot (grafisch), Histogramm. In der Praxis ist perfekte Normalverteilung selten, aber viele statistische Verfahren sind robust gegen leichte Abweichungen.
Welche Eingaben braucht der Normalverteilungs-Rechner?
Du brauchst den Mittelwert, die Standardabweichung und den zu prüfenden x-Wert oder einen unteren und oberen Grenzwert. Die Standardabweichung muss größer als 0 sein. Alle Werte müssen in derselben Einheit eingegeben werden.
Was bedeutet ein z-Wert bei der Normalverteilung?
Der z-Wert zeigt, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt ist. z = 0 liegt genau beim Mittelwert. z = 1 liegt eine Standardabweichung darüber, z = -2 zwei Standardabweichungen darunter. Über den z-Wert lassen sich Wahrscheinlichkeiten aus Tabellen oder numerischen Funktionen bestimmen.
Wann ist die Normalverteilung kein passendes Modell?
Die Normalverteilung passt schlecht bei stark schiefen Verteilungen, harten Unter- oder Obergrenzen, sehr kleinen Stichproben oder klaren Ausreißern. Beispiele sind Einkommen, Wartezeiten und viele Zähldaten. In solchen Fällen sind Lognormal-, Poisson- oder empirische Verteilungen oft geeigneter.