Partielle-Ableitung-Rechner

Berechne partielle Ableitungen von Funktionen mit mehreren Variablen

Funktion eingeben

f(x,y) = ax^n·y^m + bx^p·y^q + c

Funktionstyp

Erster Term: a·x^n·y^m

a (Koeff.)

n (x-Exp.)

m (y-Exp.)

Zweiter Term: b·x^p·y^q

b (Koeff.)

p (x-Exp.)

q (y-Exp.)

Konstante: c

Partielle Ableitungen

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Was sind partielle Ableitungen?

Bei Funktionen mit mehreren Variablen leitet man nach einer Variable ab, während alle anderen als Konstanten behandelt werden.

∂f/∂x: Ableitung nach x (y = const)

∂f/∂y: Ableitung nach y (x = const)

Wichtige Regeln

∂/∂x (x^n) = n·x^(n-1)

∂/∂x (y^m) = 0 (y ist const)

∂/∂x (x·y) = y

∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y) Gradient

Wie berechne ich das?

ƒPartielle Ableitung

\frac{\partial f}{\partial x}, \quad \frac{\partial f}{\partial y}

Variablen

\frac{\partial f}{\partial x}

Partielle Ableitung nach x-y konstant halten

\frac{\partial f}{\partial y}

Partielle Ableitung nach y-x konstant halten

Ableitungsregeln

Die wichtigsten Regeln der Differentialrechnung

Funktion f(x)	Ableitung f'(x)	Beispiel
xⁿ	n·xⁿ⁻¹	x³ → 3x²
c (Konstante)	0	5 → 0
eˣ	eˣ	eˣ → eˣ
ln(x)	1/x	ln(x) → 1/x
sin(x)	cos(x)	sin(x) → cos(x)
cos(x)	-sin(x)	cos(x) → -sin(x)
aˣ	aˣ · ln(a)	2ˣ → 2ˣ·ln(2)
1/x	-1/x²	1/x → -1/x²
√x	1/(2√x)	√x → 1/(2√x)

Kettenregel: [f(g(x))]' = f'(g(x)) · g'(x) | Produktregel: (u·v)' = u'·v + u·v'

Häufig gestellte Fragen zum Partielle-Ableitung-Rechner

Was ist eine partielle Ableitung?

Ableitung nach einer Variable, während andere Variablen als Konstanten behandelt werden.

Wie berechne ich ∂f/∂x?

Behandle alle anderen Variablen als Konstanten und leite normal nach x ab.

Was bedeutet die Notation ∂?

Das Symbol ∂ (geschwungenes d) zeigt an, dass es sich um eine partielle Ableitung handelt (mehrere Variablen).

Wofür braucht man partielle Ableitungen?

Optimierung, Gradient berechnen, Physik (Wärmelehre, Elektrik), Wirtschaft (Grenznutzen), Maschinelles Lernen.

Was ist der Gradient?

Vektor aller partiellen Ableitungen: ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ...). Zeigt Richtung des steilsten Anstiegs.

Wie berechne ich höhere partielle Ableitungen?

Mehrfach ableiten: ∂²f/∂x² oder gemischt ∂²f/∂x∂y. Reihenfolge meist egal (Satz von Schwarz).

Was ist die Hesse-Matrix?

Matrix aller zweiten partiellen Ableitungen. Wichtig für Extremwertbestimmung bei Funktionen mehrerer Variablen.

Wie finde ich Extrema bei Funktionen mit mehreren Variablen?

Alle partiellen Ableitungen = 0 setzen. Art des Extremums über Hesse-Matrix prüfen.

Was bleibt bei einer partiellen Ableitung konstant?

Alle Variablen außer der Ableitungsvariable werden wie Konstanten behandelt. Bei f(x,y) = x²y + y³ und Ableitung nach x bleibt y während dieses Rechenschritts unverändert.

Wann darf ich gemischte partielle Ableitungen vertauschen?

Nach dem Satz von Schwarz darfst du die Reihenfolge vertauschen, wenn die nötigen zweiten partiellen Ableitungen in der betrachteten Umgebung stetig sind. Dann gilt zum Beispiel f_xy = f_yx.

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Wichtige Regeln

Wie berechne ich das?

ƒPartielle Ableitung

Variablen

Ableitungsregeln

Häufig gestellte Fragen zum Partielle-Ableitung-Rechner

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Wie berechne ich das?

ƒPartielle Ableitung

Variablen

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