Arithmetisches, geometrisches und harmonisches Mittel
Mittelwert-Art
Formel
Beispiel (2, 8)
Anwendung
Arithmetisches Mittel
(a + b) / 2
5
Durchschnitt, Noten
Geometrisches Mittel
√(a × b)
4
Wachstumsraten, Renditen
Harmonisches Mittel
2 / (1/a + 1/b)
3,2
Geschwindigkeiten
Quadratisches Mittel
√((a² + b²) / 2)
5,83
Effektivwerte (Elektrik)
Median
Mittlerer Wert
5
Robuster Lageparameter
Modus
Häufigster Wert
-
Kategoriale Daten
Es gilt immer: Harmonisch ≤ Geometrisch ≤ Arithmetisch ≤ Quadratisch
Standardabweichung interpretieren
Bedeutung der Standardabweichung bei Normalverteilung
Bereich
Anteil der Daten
Bedeutung
μ ± 1σ
68,27 %
Etwa 2/3 aller Werte
μ ± 2σ
95,45 %
Fast alle Werte
μ ± 3σ
99,73 %
Nahezu alle Werte
μ ± 4σ
99,99 %
Praktisch alle Werte
μ = Mittelwert, σ = Standardabweichung. Gilt für Normalverteilung.
Häufig gestellte Fragen zum Mittelwert berechnen online
Was ist der Unterschied zwischen arithmetischem und geometrischem Mittel?
Das arithmetische Mittel ist die Summe aller Werte geteilt durch deren Anzahl. Es eignet sich für additive Daten wie Temperaturmessungen. Das geometrische Mittel ist die n-te Wurzel des Produkts aller Werte und eignet sich für multiplikative Daten wie Wachstumsraten oder Renditen. Bei gleichen Werten sind beide identisch, ansonsten ist das geometrische Mittel immer kleiner oder gleich dem arithmetischen.
Wann sollte ich das harmonische Mittel verwenden?
Das harmonische Mittel eignet sich für Durchschnitte von Raten und Verhältnissen. Typische Anwendungen: Durchschnittsgeschwindigkeit bei gleichen Strecken mit verschiedenen Geschwindigkeiten, Kurs-Gewinn-Verhältnisse, Preis-Leistungs-Verhältnisse. Es gewichtet kleinere Werte stärker und ist immer kleiner oder gleich dem arithmetischen Mittel.
Was ist das quadratische Mittel (RMS)?
Das quadratische Mittel (Root Mean Square, RMS) ist die Quadratwurzel des Durchschnitts der Quadrate. Es wird in der Elektrotechnik für Effektivwerte von Wechselspannungen und -strömen verwendet. Es ist immer größer oder gleich dem arithmetischen Mittel und betont größere Werte stärker.
Wie berechne ich den gewichteten Mittelwert?
Beim gewichteten Mittelwert wird jeder Wert mit einem Gewicht multipliziert, bevor die Summe durch die Gesamtgewichte geteilt wird: x_gew = (w1·x1 + w2·x2 + ... + wn·xn) / (w1 + w2 + ... + wn). Anwendung z. B. bei Schulnoten mit unterschiedlicher Gewichtung oder Portfoliorenditen.
Warum kann das geometrische Mittel nicht mit negativen Zahlen berechnet werden?
Das geometrische Mittel erfordert die Berechnung einer n-ten Wurzel aus dem Produkt aller Werte. Bei einer geraden Anzahl negativer Werte wäre das Produkt positiv, bei ungerader Anzahl negativ. Die n-te Wurzel aus einer negativen Zahl ist im Reellen nicht definiert. Deshalb werden nur positive Werte akzeptiert.
Was ist der Unterschied zwischen Mittelwert und Median?
Der Mittelwert (arithmetisches Mittel) berücksichtigt alle Werte gleichmäßig und ist anfällig für Ausreißer. Der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten und robust gegen Ausreißer. Bei symmetrischen Verteilungen sind beide ähnlich, bei schiefen Verteilungen können sie stark abweichen. Beispiel: Einkommen (Median oft aussagekräftiger als Mittelwert).
Gilt die Ungleichung der Mittelwerte immer?
Ja, für positive Zahlen gilt immer: harmonisches Mittel ≤ geometrisches Mittel ≤ arithmetisches Mittel ≤ quadratisches Mittel. Gleichheit tritt nur dann ein, wenn alle Werte identisch sind. Diese Ungleichung ist ein fundamentaler Satz der Mathematik.
Wie gehe ich mit fehlenden Werten in einer Datenreihe um?
Fehlende Werte sollten nicht automatisch als 0 eingetragen werden, weil das den Durchschnitt stark verzerren kann. Rechne entweder nur mit den tatsächlich gemessenen Werten oder dokumentiere klar, welche Werte geschätzt wurden. Bei gewichteten Mittelwerten müssen auch die Gewichte zu denselben beobachteten Werten gehören.
Warum können Ausreißer den Mittelwert stark verändern?
Das arithmetische Mittel verwendet jeden Wert vollständig in der Summe. Ein einzelner extrem hoher oder niedriger Wert verschiebt den Durchschnitt daher deutlich. Wenn du einen typischen Wert suchst, ist zusätzlich der Median sinnvoll, weil er nur von der Rangfolge abhängt und Ausreißer weniger stark gewichtet.
Wann darf ich verschiedene Mittelwerte nicht miteinander vergleichen?
Vergleiche sind problematisch, wenn die Werte unterschiedliche Einheiten, unterschiedliche Bezugszeiträume oder unterschiedliche Grundgesamtheiten haben. Ein Durchschnitt pro Monat ist zum Beispiel nicht direkt mit einem Durchschnitt pro Tag vergleichbar. Vereinheitliche zuerst Einheit, Zeitraum und Datenbasis.