Logarithmus-Rechner

Der Logarithmus ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. log_b(x) = y bedeutet: b^y = x. Beispiel: log_2(8) = 3, weil 2³ = 8. Der Logarithmus beantwortet die Frage: 'Mit welcher Zahl muss ich die Basis potenzieren, um den gegebenen Wert zu erhalten?' Haupttypen: natürlicher Logarithmus (ln, Basis e), Zehnerlogarithmus (log, Basis 10), Zweierlogarithmus (log2, Basis 2). Der Logarithmus ist nur für positive Zahlen definiert.

Natürlicher Logarithmus (ln): Basis e ≈ 2,718, verwendet in Zinseszins, Wachstum, Exponentialfunktionen. Zehnerlogarithmus (log): Basis 10, verwendet für Dezibel, pH-Werte, Richter-Skala. Zweierlogarithmus (log2): Basis 2, verwendet in Informatik für Komplexität, Bits, Algorithmen. Benutzerdefinierte Basen: je nach Anwendung. Gemeinsamkeit: alle Logarithmen sind über die Basiswechselformel ineinander umrechenbar: log_a(x) = ln(x)/ln(a).

Die Basiswechselformel lautet: log_a(x) = log_b(x) / log_b(a). Praktische Umrechnungen: ln(x) = log_2(x) / log_2(e) ≈ log_2(x) / 1,443. log_10(x) = ln(x) / ln(10) ≈ ln(x) / 2,303. log_2(x) = ln(x) / ln(2) ≈ ln(x) / 0,693. Merkregeeln: ln zu log10 → durch 2,303 teilen. log10 zu ln → mit 2,303 multiplizieren. log2 zu ln → mit 0,693 multiplizieren. Taschenrechner haben meist nur ln und log10-Tasten.

Produktregel: log(a·b) = log(a) + log(b). Quotientenregel: log(a/b) = log(a) - log(b). Potenzregel: log(a^n) = n·log(a). Spezialfälle: log(1) = 0, log_b(b) = 1, log(1/a) = -log(a). Diese Gesetze gelten für alle Logarithmusarten. Anwendung: Vereinfachung komplexer Ausdrücke, Lösung von Exponentialgleichungen, Umformung von Wachstumsfunktionen. Wichtig: Logarithmen von Summen/Differenzen haben keine einfache Regel!

Dezibel-Skala: 10·log₁₀(P₁/P₀) für Schallpegel. pH-Wert: -log₁₀([H⁺]) für Säurestärke. Richter-Skala: log₁₀(Amplitude) für Erdbebenstärke. Informatik: log₂(n) für Algorithmus-Komplexität. Finanzen: ln für kontinuierliche Verzinsung. Biologie: Halbwertszeit, Populationswachstum. Physik: Entropie, Signalverarbeitung. Statistik: Log-Normalverteilung. Astronomie: Helligkeitsskalen. Chemie: Reaktionskinetik.

Strategie: Logarithmus beider Seiten bilden. Beispiele: 2^x = 8 → log_2(2^x) = log_2(8) → x = 3. e^x = 10 → ln(e^x) = ln(10) → x = ln(10) ≈ 2,303. 3^(x+1) = 27 → log_3(3^(x+1)) = log_3(27) → x+1 = 3 → x = 2. Bei verschiedenen Basen: 2^x = 3^(x-1) → ln(2^x) = ln(3^(x-1)) → x·ln(2) = (x-1)·ln(3) → x lösen. Wichtig: Definitionsbereich prüfen (positive Argumente)!

Der natürliche Logarithmus (ln) hat die Basis e ≈ 2,71828 (Euler'sche Zahl). Er ist besonders, weil er als einziger Logarithmus die Eigenschaft hat, dass die Ableitung von ln(x) gleich 1/x ist und die Ableitung von e^x gleich e^x bleibt. Dies macht ihn unverzichtbar in der Analysis, bei Differentialgleichungen und in der Physik. ln beschreibt natürliche Wachstums- und Zerfallsprozesse, kontinuierliche Verzinsung und erscheint in der Normalverteilung. Der Name 'natürlich' kommt von dieser fundamentalen Rolle in der Natur.

Für einfache Werte: log₁₀(100) = 2 (da 10² = 100), log₂(32) = 5 (da 2⁵ = 32). Für Näherungen: log₁₀(2) ≈ 0,301, log₁₀(3) ≈ 0,477, log₁₀(5) = log₁₀(10/2) = 1 - 0,301 = 0,699. Mit Logarithmengesetzen: log(12) = log(4×3) = log(4) + log(3) = 2·log(2) + log(3) ≈ 0,602 + 0,477 = 1,079. Historisch wurden Logarithmentafeln verwendet. Heute existieren mentale Rechentricks: ln(2) ≈ 0,693, ln(10) ≈ 2,303 auswendig lernen für schnelle Näherungen.

Die Berechnungen basieren auf aktuellen mathematischen Formeln und Standards. Die Genauigkeit hängt von der Qualität der eingegebenen Daten ab. Für rechtlich bindende Berechnungen solltest du einen Fachexperten konsultieren.

Ja, der Rechner ist vollständig responsiv gestaltet und funktioniert auf allen Geräten - Desktop, Tablet und Smartphone. Die Bedienung wurde für Touchscreens optimiert.