Berechne Newton-Näherungen für ax²+bx+c aus Startwert und Ableitung. Inklusive Iterationen, Toleranz und kompletter Schrittfolge bis hin zur Nullstelle.
Funktion, Startwert und Iterationen
Berechne Newton-Schritte für f(x) = ax² + bx + c mit Ableitung, Toleranz und Kontrollwerten.
Näherung, Restfehler und Schritte
Mit Ableitung, Status, Nullstellenvergleich und Iterationstabelle
Gib Funktion und Startwert ein und starte die Berechnung.
Aktueller Näherungswert-Der Wert, an dem Funktion und Ableitung in diesem Schritt ausgewertet werden.
f(xn)
Funktionswert-Der Abstand der Funktion zur Nullstelle in vertikaler Richtung.
f′(xn)
Ableitung-Die Tangentensteigung an der aktuellen Stelle. Die Steigung darf nicht zu nah an 0 liegen.
xn+1
Nächster Näherungswert-Der neue Wert nach einem Newton-Schritt.
Typische Newton-Beispiele für ax²+bx+c
Die Beispiele zeigen, wie stark Startwert, Ableitung und echte Nullstellen das Verhalten des Verfahrens beeinflussen.
Funktion
Startwert
Was passiert
x² - 2
1
Die Folge nähert sich √2 sehr schnell.
x² - 5x + 6
2,8
Der Startwert liegt näher an 3, deshalb landet die Iteration bei dieser Nullstelle.
2x - 8
0
Lineare Funktionen sind nach einem Newton-Schritt exakt gelöst.
x² + 1
0
Keine reelle Nullstelle und Ableitung 0. Der Rechner stoppt.
Eingaben im Newton-Rechner
Der Rechner nutzt eine quadratische oder lineare Funktion. Dadurch bleiben Funktion, Ableitung und Kontrollwert direkt nachvollziehbar.
Eingabe
Bedeutung
Hinweis
a, b, c
Koeffizienten in f(x) = ax² + bx + c.
Wenn a = 0 ist, wird eine lineare Funktion berechnet.
Startwert
Erster Wert der Iteration.
Ein Startwert nahe an der gewünschten Nullstelle ist meist stabiler.
Iterationen
Maximale Anzahl der Newton-Schritte.
Mehr Schritte helfen nur, wenn die Folge nicht instabil läuft.
Toleranz
Grenze für Restfehler oder Korrektur.
Kleine Werte liefern strengere Abbruchbedingungen.
Startwert-Qualität einschätzen
Beim Newton-Verfahren ist der Startwert keine Nebensache. Ein ungünstiger Start kann die Iteration abbrechen oder zur anderen Nullstelle ziehen.
Situation
Wirkung
Praxischeck
Start nahe an einer einfachen Nullstelle
Die Folge konvergiert meist sehr schnell.
Guter Fall für wenige Iterationen.
Ableitung nahe 0
Der Quotient f(x) / f'(x) wird sehr groß.
Anderen Startwert wählen.
Zwei reelle Nullstellen
Der Startwert entscheidet oft, welche Nullstelle getroffen wird.
Mit mehreren Startwerten vergleichen.
Keine reelle Nullstelle
Die Folge kann springen oder abbrechen.
Diskriminante prüfen.
Abbruch, Toleranz und Ergebnisqualität
Ein Näherungswert ist nur so gut wie der Restfehler und die letzte Korrektur. Beides gehört zur Ergebnisprüfung.
Kriterium
Bedeutung
Einordnung
|f(x)| kleiner Toleranz
Der Funktionswert liegt nahe genug bei 0.
Starkes Signal für einen brauchbaren Näherungswert.
Korrektur kleiner Toleranz
Der nächste Schritt verändert x kaum noch.
Gut, aber bei flachen Kurven trotzdem Restfehler prüfen.
Ableitung zu klein
Der nächste Schritt wäre numerisch unsicher.
Startwert ändern und erneut rechnen.
Iterationen ausgeschöpft
Das Verfahren hat noch keine Abbruchgrenze erreicht.
Mehr Schritte oder besseren Startwert testen.
Häufig gestellte Fragen zum Newton-Verfahren-Rechner
Was berechnet der Newton-Verfahren-Rechner?
Der Rechner führt das Newton-Verfahren für Funktionen der Form f(x) = ax² + bx + c aus. Er zeigt den Näherungswert, den Restfehler, die Ableitung, die einzelnen Iterationsschritte und den Vergleich mit den exakten reellen Nullstellen, wenn sie existieren.
Warum ist der Startwert beim Newton-Verfahren so wichtig?
Der Startwert bestimmt, an welcher Stelle die erste Tangente gelegt wird. Bei quadratischen Funktionen mit zwei Nullstellen kann ein Startwert links oder rechts der Scheitelregion zu unterschiedlichen Nullstellen führen. Liegt der Startwert ungünstig, wird die Ableitung klein oder die Folge springt stark.
Was bedeutet der Restfehler im Ergebnis?
Der Restfehler ist der Betrag von f(x) am aktuellen Näherungswert. Je näher dieser Wert bei 0 liegt, desto besser passt der gefundene x-Wert zur Nullstelle. Ein kleiner Restfehler ist oft aussagekräftiger als viele Nachkommastellen im Näherungswert.
Wann bricht der Rechner mit einer kritischen Meldung ab?
Der Rechner stoppt kritisch, wenn die Ableitung an der aktuellen Stelle zu nah an 0 liegt oder die Iteration numerisch wegläuft. In beiden Fällen wäre der nächste Newton-Schritt nicht verlässlich. Meist hilft ein anderer Startwert, manchmal hat die Funktion aber auch keine reelle Nullstelle.
Kann das Newton-Verfahren die falsche Nullstelle finden?
Ja. Bei Funktionen mit mehreren Nullstellen findet das Verfahren nicht automatisch die gesuchte, sondern die Nullstelle, zu der die Iterationsfolge vom Startwert aus hingezogen wird. Deshalb lohnt es sich, mehrere plausible Startwerte zu testen und den Abstand zu den exakten Nullstellen zu vergleichen.
Warum zeigt der Rechner auch die Diskriminante?
Bei ax² + bx + c verrät die Diskriminante sofort, ob reelle Nullstellen existieren. Ist sie negativ, kann das Newton-Verfahren im Reellen keine echte Nullstelle finden. Ist sie 0, gibt es eine doppelte Nullstelle, bei der das Verfahren oft langsamer wird.
Wie viele Iterationen sind sinnvoll?
Für gut gewählte Startwerte reichen bei einfachen quadratischen Gleichungen oft wenige Schritte. Mehr Iterationen verbessern das Ergebnis nur, wenn die Folge stabil konvergiert. Wenn Restfehler und Korrektur kaum kleiner werden, ist ein anderer Startwert meist hilfreicher als blind mehr Schritte.
Was passiert bei linearen Funktionen?
Wenn a = 0 und b nicht 0 ist, wird aus ax² + bx + c eine lineare Funktion. Das Newton-Verfahren trifft die Nullstelle dann nach einem Schritt exakt, weil die Ableitung konstant ist und die Tangente mit der Funktion selbst zusammenfällt.
Warum darf die Ableitung nicht 0 sein?
Im Newton-Schritt wird durch f'(x) geteilt. Ist die Ableitung 0 oder extrem klein, wird die Korrektur unendlich groß oder numerisch unbrauchbar. Das ist kein Rundungsdetail, sondern ein echter mathematischer Schwachpunkt des Verfahrens.
Ersetzt der Rechner einen vollständigen Lösungsweg?
Für quadratische Funktionen zeigt der Rechner eine saubere numerische Kontrolle und zusätzlich den exakten Nullstellenvergleich. In einer Schul- oder Hochschulaufgabe solltest du trotzdem den geforderten Lösungsweg angeben, besonders wenn Mitternachtsformel, pq-Formel oder Konvergenzbegründung verlangt sind.