Newton-Verfahren-Rechner

Nähere eine Nullstelle einer quadratischen Funktion mit dem Newton-Verfahren.

Rechner-Eingaben

Gib deine Werte für a in ax²+bx+c, b in ax²+bx+c, c in ax²+bx+c und Startwert ein. Ergebnis und Berechnungsbasis aktualisieren sich automatisch.

Eingaben

Passe alle relevanten Fachwerte an deinen konkreten Fall an.

a in ax²+bx+c

b in ax²+bx+c

c in ax²+bx+c

Startwert

Iterationen

Hinweis

Dieser Rechner ist eine fachliche Orientierung und ersetzt keine verbindliche Prüfung durch die zuständige Stelle, Beratung, Labor, Vertragspartner oder Fachperson.

Newton-Verfahren

Näherungswert

2,00

Restwert f(x)

0,00

Genutzte Iterationen

6,00

Berechnungsbasis

a in ax²+bx+c

1,00

b in ax²+bx+c

-3,00

c in ax²+bx+c

2,00

Startwert

3,00

Iterationen

6,00

Einordnung

Das Newton-Verfahren kann je nach Startwert konvergieren, springen oder abbrechen.

Wie berechne ich das?

ƒNewton-Verfahren-Rechner Formel

x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}

Variablen

a in ax²+bx+c-Eingabe der Berechnung.

b in ax²+bx+c-Eingabe der Berechnung.

c in ax²+bx+c-Eingabe der Berechnung.

Startwert-Eingabe der Berechnung.

Newton-Verfahren-Rechner: Eingaben

Newton-Verfahren-Rechner: Alle Eingaben müssen zum selben Rechenfall passen.
Eingabe	Rolle	Prüfung
a in ax²+bx+c	Zahlenwert	Wert aus Vertrag, Bescheid, Messung, Tabelle oder eigener Berechnung übernehmen.
b in ax²+bx+c	Zahlenwert	Wert aus Vertrag, Bescheid, Messung, Tabelle oder eigener Berechnung übernehmen.
c in ax²+bx+c	Zahlenwert	Wert aus Vertrag, Bescheid, Messung, Tabelle oder eigener Berechnung übernehmen.
Startwert	Zahlenwert	Wert aus Vertrag, Bescheid, Messung, Tabelle oder eigener Berechnung übernehmen.
Iterationen	Zahlenwert	Wert aus Vertrag, Bescheid, Messung, Tabelle oder eigener Berechnung übernehmen.

Newton-Verfahren-Rechner: Formel

xₙ₊₁ = xₙ - f(xₙ)/f'(xₙ)
Symbol	Wert	Bedeutung
A	a in ax²+bx+c	Eingabe der Berechnung.
B	b in ax²+bx+c	Eingabe der Berechnung.
C	c in ax²+bx+c	Eingabe der Berechnung.
D	Startwert	Eingabe der Berechnung.

Newton-Verfahren-Rechner: Ergebnis prüfen

Nähere eine Nullstelle einer quadratischen Funktion mit dem Newton-Verfahren.
Prüfpunkt	Warum wichtig	Aktion
Eingaben	Falsche Eingaben wirken direkt in die Formel.	Werte mit Unterlagen abgleichen.
Grenzen	Viele Rechner haben Höchstbeträge, Definitionsbereiche oder medizinische Grenzen.	Grenzwerte bewusst prüfen.
Rundung	Anzeigen sind gerundet, die Berechnung nutzt genauere Zwischenwerte.	Bei Grenzfällen mit Originalwerten nachrechnen.
Einordnung	Das Ergebnis ersetzt keine verbindliche Stelle.	Bescheid, Vertrag, Labor oder Fachberatung nutzen.

Häufig gestellte Fragen zum Newton-Verfahren-Rechner

Was macht das Newton-Verfahren?

Das Newton-Verfahren nähert eine Nullstelle einer Funktion schrittweise an. Es nutzt an jedem aktuellen x-Wert die Tangente und schneidet diese mit der x-Achse, um den nächsten Näherungswert zu erhalten.

Welche Formel nutzt der Rechner?

Die Iterationsformel lautet x neu gleich x minus f(x) geteilt durch f'(x). Für die quadratische Funktion werden Funktionswert und Ableitung am aktuellen Näherungswert berechnet.

Warum ist der Startwert so wichtig?

Das Verfahren ist lokal. Ein guter Startwert führt oft schnell zur gewünschten Nullstelle. Ein schlechter Startwert kann zu einer anderen Nullstelle, langsamer Annäherung oder Abbruch führen.

Wann darf das Newton-Verfahren nicht weiterrechnen?

Wenn die Ableitung am aktuellen Punkt 0 oder praktisch 0 ist, würde die Formel durch 0 teilen. Dann ist der nächste Schritt nicht sinnvoll definiert und ein anderer Startwert ist nötig.

Warum können mehrere Nullstellen möglich sein?

Eine quadratische Funktion kann zwei, eine oder keine reelle Nullstelle haben. Das Newton-Verfahren findet normalerweise die Nullstelle, in deren Einzugsbereich der Startwert liegt.

Was bedeutet der Restwert f(x)?

Der Restwert zeigt, wie nah der aktuelle Näherungswert an einer echten Nullstelle liegt. Je näher f(x) an 0 ist, desto besser erfüllt der gefundene x-Wert die Gleichung.

Wie viele Iterationen sind sinnvoll?

Bei gutem Startwert reichen oft wenige Iterationen. Zu wenige Schritte können ungenau sein, sehr viele Schritte bringen bei Rundungsgrenzen kaum noch Verbesserung. Das Ergebnis sollte über den Restwert kontrolliert werden.

Warum kann das Verfahren manchmal springen?

Wenn die Tangente sehr flach ist oder der Startwert ungünstig liegt, kann der nächste Schnittpunkt weit entfernt liegen. Dann wirkt die Folge der Näherungen unruhig oder entfernt sich von der gesuchten Nullstelle.

Ist das Newton-Verfahren ein exaktes Lösungsverfahren?

Es ist ein numerisches Näherungsverfahren. Bei einfachen quadratischen Funktionen gibt es auch exakte Formeln. Das Newton-Verfahren ist besonders nützlich, wenn exakte Lösungen schwerer zugänglich sind.

Wie prüfe ich, ob die Näherung brauchbar ist?

Setze den Näherungswert wieder in die Funktion ein. Wenn f(x) nahe 0 liegt und sich die letzten Iterationen kaum noch ändern, ist die Näherung für viele Anwendungen ausreichend.

Newton-Verfahren-Rechner

Eingaben

Hinweis

Berechnungsbasis

Einordnung

ƒNewton-Verfahren-Rechner Formel

Variablen

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