Horner-Schema-Rechner

Das Horner-Schema ist ein effizienter Algorithmus zur Auswertung von Polynomen. Es reduziert die Anzahl der Multiplikationen, indem das Polynom a_n*x^n + ... + a_1*x + a_0 als (...((a_n*x + a_{n-1})*x + a_{n-2})*x + ...)*x + a_0 umgeformt wird.

Das Schema wurde 1819 von William George Horner veröffentlicht, aber der chinesische Mathematiker Qin Jiushao beschrieb es bereits im 13. Jahrhundert. In China ist es als 'Qin Jiushao-Algorithmus' bekannt. Isaac Newton nutzte eine ähnliche Methode.

Ein Polynom vom Grad n benötigt bei direkter Berechnung n(n+1)/2 Multiplikationen. Mit dem Horner-Schema sind es nur n Multiplikationen und n Additionen. Bei Grad 5: 15 vs. 5 Multiplikationen – eine erhebliche Zeitersparnis bei großen Polynomen.

Für p(x) = 2x³ + 3x² - 4x + 1 bei x=2: 1. Beginne mit dem führenden Koeffizienten: 2. 2. Multipliziere mit x und addiere nächsten Koeffizienten: 2*2+3=7. 3. Wiederhole: 7*2-4=10. 4. Wiederhole: 10*2+1=21. Ergebnis: p(2)=21.

Anwendungen: Polynomauswertung (Taschenrechner, Computer), Polynomdivision (Koeffizienten des Quotienten), Nullstellensuche (Newton-Verfahren), Umrechnung von Zahlensystemen, numerische Mathematik. Es ist ein Standardalgorithmus in der Informatik.

Das Schema liefert die Koeffizienten von p(x)/(x-a) als Zwischenergebnisse. Der letzte Wert ist der Rest. Ist der Rest 0, so ist a eine Nullstelle. Beispiel: (2x³-3x²-5x+6)/(x-2) = 2x²+x-3 mit Rest 0, also ist x=2 eine Nullstelle.

Ja, das Horner-Schema funktioniert mit jeder Art von Zahlen: ganze Zahlen, rationale Zahlen, reelle Zahlen und komplexe Zahlen. Der Algorithmus bleibt identisch, nur die Multiplikation und Addition erfolgen in der entsprechenden Zahlenmenge.

Das Ruffini-Verfahren ist im Wesentlichen das gleiche wie das Horner-Schema, wird aber speziell für Polynomdivision durch Linearfaktoren (x-a) verwendet. Die tabellarische Darstellung unterscheidet sich leicht, der mathematische Kern ist identisch.

Das erweiterte Horner-Schema kann auch Ableitungen berechnen. Nach der ersten Anwendung erhält man p(a), bei erneuter Anwendung auf die Zwischenergebnisse p'(a), dann p''(a)/2!, usw. Dies ist nützlich für das Newton-Verfahren.

Ja, dieser Rechner berechnet Polynomwerte mit dem Horner-Schema und zeigt alle Zwischenschritte. Geben Sie die Koeffizienten (höchste Potenz zuerst) und den x-Wert ein. Das Ergebnis und der Rechenweg werden übersichtlich dargestellt.

Die Berechnungen basieren auf aktuellen mathematischen Formeln und Standards. Die Genauigkeit hängt von der Qualität der eingegebenen Daten ab. Für rechtlich bindende Berechnungen sollten Sie einen Fachexperten konsultieren.

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