Integralrechner

Berechne bestimmte und unbestimmte Integrale. Mit Schritt-für-Schritt-Lösung

Integral eingeben

Berechne Integrale von Polynomen mit Schritt-für-Schritt-Lösung

Integraltyp

∫ 1 · x² dx

Koeffizient (a)

Exponent (n)

Wichtige Integrationsregeln

∫ x^n (Potenzregel) dx

= x^(n+1)/(n+1) + C

∫ 1/x dx

= ln|x| + C

∫ e^x dx

= e^x + C

∫ sin(x) dx

= -cos(x) + C

∫ cos(x) dx

= sin(x) + C

∫ 1/(1+x²) dx

= arctan(x) + C

∫ a·x^n (mit Faktor) dx

= a·x^(n+1)/(n+1) + C

Wie berechne ich das?

ƒIntegral (Stammfunktion)

\int f(x)\,dx = F(x) + C

Variablen

f(x)

Integrand-Zu integrierende Funktion

F(x)

Stammfunktion-Integral von f(x)

C

Konstante-Integrationskonstante

Integralregeln

Stammfunktionen wichtiger Funktionen

Funktion f(x)	Stammfunktion F(x)	Anmerkung
xⁿ (n≠-1)	xⁿ⁺¹/(n+1) + C	Potenzregel
1/x	ln\|x\| + C	Für x ≠ 0
eˣ	eˣ + C	e-Funktion
sin(x)	-cos(x) + C	Trigonometrisch
cos(x)	sin(x) + C	Trigonometrisch
1	x + C	Konstante 1
aˣ	aˣ/ln(a) + C	Für a > 0, a ≠ 1

C = Integrationskonstante | ∫f(x)dx = F(x) + C

Häufig gestellte Fragen zum Integralrechner

Was ist ein Integral?

Ein Integral berechnet die Fläche unter einer Kurve. Das unbestimmte Integral ist die Stammfunktion.

Was sind die Grundregeln?

∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1), ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|. Konstante dazuaddieren bei unbestimmten Integralen.

Was ist der Unterschied zwischen bestimmtem und unbestimmtem Integral?

Unbestimmt: Stammfunktion + C. Bestimmt: F(b) - F(a) = konkrete Fläche zwischen a und b.

Wie funktioniert partielle Integration?

∫u×v' dx = u×v - ∫u'×v dx. Anwendung: Produkte von Funktionen, z. B. x×eˣ.

Was ist Substitution?

Ersetze innere Funktion durch neue Variable. Für verkettete Funktionen: ∫f(g(x))×g'(x) dx.

Wie berechne ich Flächen zwischen Kurven?

Integriere obere Funktion minus untere Funktion über das passende Intervall. Wenn sich die Funktionen schneiden, musst du das Intervall an den Schnittpunkten aufteilen.

Was ist die Stammfunktion von sin(x)?

Die Stammfunktion von sin(x) ist -cos(x) + C, weil die Ableitung von -cos(x) wieder sin(x) ergibt. Für cos(x) lautet die Stammfunktion sin(x) + C.

Warum +C bei unbestimmten Integralen?

Die Integrationskonstante C: Jede Funktion F(x) + C hat dieselbe Ableitung. Die Konstante wird durch Anfangsbedingungen bestimmt.

Warum ist die Integrationskonstante C wichtig?

Ohne C würdest du nur eine von unendlich vielen Stammfunktionen angeben. Da Konstanten beim Ableiten verschwinden, haben F(x), F(x) + 2 und F(x) - 10 dieselbe Ableitung.

Wann ist ein bestimmtes Integral nicht gleich der geometrischen Fläche?

Ein bestimmtes Integral zählt Bereiche unterhalb der x-Achse negativ. Für die geometrische Fläche musst du Nullstellen und Schnittpunkte beachten und die Beträge der Teilflächen addieren.

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Wie berechne ich das?

ƒIntegral (Stammfunktion)

Variablen

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Häufig gestellte Fragen zum Integralrechner

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ƒIntegral (Stammfunktion)

Variablen

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