Berechne das Volumen und die Oberfläche eines Kegelstumpfs. Mit Formeln, Mantelfläche und Schritt-für-Schritt-Erklärung.
Maße des Kegelstumpfs
Formeln für den Kegelstumpf
Volumen:
V = (π · h / 3) · (R² + R·r + r²)
Mantellinie:
s = √(h² + (R - r)²)
Mantelfläche:
M = π · (R + r) · s
Oberfläche:
O = π · r² + π · R² + M
Was ist ein Kegelstumpf?
Ein Kegelstumpf entsteht, wenn man von einem Kegel die Spitze durch einen zur Grundfläche parallelen Schnitt abtrennt. Er hat zwei kreisförmige Grundflächen unterschiedlicher Größe (oben und unten) und eine gekrümmte Mantelfläche. Typische Anwendungen sind Lampenschirme, Blumentöpfe, Eimer oder Trichter.
r₁ = unterer Radius, r₂ = oberer Radius, h = Höhe, s = Mantellinie
Berechnungsbeispiele
Objekt
r₁ (unten)
r₂ (oben)
Höhe
Volumen
Blumentopf
15 cm
10 cm
20 cm
9.163 cm³
Eimer
20 cm
15 cm
30 cm
24.347 cm³
Lampenschirm
25 cm
12 cm
18 cm
16.493 cm³
Becher
4 cm
3 cm
10 cm
318 cm³
Volumen = V = (π × h / 3) × (r₁² + r₁r₂ + r₂²)
Häufig gestellte Fragen zum Kegelstumpf-Volumen-Rechner
Was ist ein Kegelstumpf?
Ein Kegelstumpf entsteht, wenn man von einem Kegel die Spitze parallel zur Grundfläche abschneidet. Er hat zwei kreisförmige Grundflächen mit unterschiedlichen Radien (oben kleiner, unten größer) und eine schräge Mantelfläche.
Wie berechnet man das Volumen eines Kegelstumpfs?
Das Volumen berechnet sich mit V = (π × h / 3) × (r₁² + r₁ × r₂ + r₂²), wobei h die Höhe, r₁ der untere Radius und r₂ der obere Radius ist. Die Formel berücksichtigt beide Grundflächen.
Wie berechnet man die Mantelfläche?
Die Mantelfläche ist M = π × (r₁ + r₂) × s, wobei s die Mantellinie ist. Die Mantellinie berechnet sich mit s = √(h² + (r₁ - r₂)²).
Was ist die Gesamtoberfläche eines Kegelstumpfs?
Die Gesamtoberfläche ist O = π × r₁² + π × r₂² + π × (r₁ + r₂) × s. Die Oberfläche setzt sich aus der unteren Kreisfläche, der oberen Kreisfläche und der Mantelfläche zusammen.
Was ist der Unterschied zwischen Höhe und Mantellinie?
Die Höhe h ist der senkrechte Abstand zwischen den beiden Grundflächen. Die Mantellinie s ist die schräge Länge der Außenseite vom Rand der einen zur anderen Grundfläche.
Wo kommen Kegelstümpfe im Alltag vor?
Kegelstümpfe finden sich bei Lampenschirmen, Blumentöpfen, Eimern, Trichtern, Baumstämmen, Trinkbechern (Pappbecher), Kleidung (Röcke), Bauwerken und vielen Behältern.
Wie hängt der Kegelstumpf mit dem Kegel zusammen?
Ein Kegelstumpf ist der untere Teil eines Kegels nach dem Abschneiden der Spitze. Die Volumenformel lässt sich auch als Differenz zweier Kegelvolumina verstehen.
Was ist wenn beide Radien gleich sind?
Wenn r₁ = r₂ ist, wird der Kegelstumpf zum Zylinder. Die Volumenformel vereinfacht sich zu V = π × r² × h.
Was ist wenn der obere Radius 0 ist?
Wenn r₂ = 0, wird der Kegelstumpf zu einem vollständigen Kegel. Die Volumenformel vereinfacht sich zu V = π × h × r₁² / 3.
Wie berechne ich die fehlende Höhe bei gegebenem Volumen?
Stelle die Volumenformel nach h um: h = 3V / (π × (r₁² + r₁×r₂ + r₂²)). Setze V und beide Radien in derselben Längeneinheit ein, um die Höhe zu berechnen. Das Volumen muss dazu in der passenden Kubikeinheit vorliegen.
Macht es einen Unterschied, welcher Radius oben oder unten steht?
Für Volumen und Mantelfläche ist die Formel symmetrisch. Es ist also egal, ob r₁ der obere oder untere Radius ist, solange beide Radien korrekt eingesetzt werden. Für Zeichnungen, Schwerpunkt, Füllhöhe oder praktische Behälterfragen kann die Orientierung trotzdem wichtig sein.
Welche Einheiten muss ich beim Kegelstumpf verwenden?
Radius und Höhe müssen in derselben Längeneinheit stehen, zum Beispiel alle in Zentimetern oder alle in Metern. Das Volumen entsteht dann in Kubikzentimetern oder Kubikmetern. Für Liter gilt: 1 Liter = 1.000 cm³. Unterschiedliche Einheiten sind eine häufige Fehlerquelle.