Inverse-Matrix-Rechner

Berechne die Inverse einer Matrix. Für 2x2, 3x3 und größere Matrizen

Matrix eingeben

2x2 oder 3x3 Matrix invertieren

Matrixgröße

Matrix A

Inverse Matrix

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Formel für 2×2 Matrix

A = [[a, b], [c, d]]

A⁻¹ = (1/(ad-bc)) × [[d, -b], [-c, a]]

Die Inverse existiert nur, wenn die Determinante ad-bc ≠ 0 ist.

Eigenschaften der Inversen

A × A⁻¹ = I (Einheitsmatrix)

A⁻¹ × A = I

(A⁻¹)⁻¹ = A

(AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹

det(A⁻¹) = 1/det(A)

Wie berechne ich das?

ƒInverse Matrix

A^{-1} \cdot A = I

Variablen

A

Matrix-Quadratische, invertierbare Matrix

A^{-1}

Inverse-Kehrmatrix

Matrix-Operationen

Grundlegende Operationen mit Matrizen

Operation	Bedingung	Ergebnis-Dimension
Addition A + B	Gleiche Dimension	m × n
Subtraktion A - B	Gleiche Dimension	m × n
Skalarmultiplikation k·A	Keine	m × n
Multiplikation A·B	Spalten(A) = Zeilen(B)	m × p
Transponierte Aᵀ	Keine	n × m
Inverse A⁻¹	det(A) ≠ 0, quadratisch	n × n

A (m×n) bedeutet: m Zeilen, n Spalten

Determinanten-Eigenschaften

Wichtige Eigenschaften der Determinante

Eigenschaft	Formel/Regel
Produkt	det(A·B) = det(A) · det(B)
Transponierte	det(Aᵀ) = det(A)
Inverse	det(A⁻¹) = 1/det(A)
Skalarmultiplikation	det(k·A) = kⁿ · det(A)
Zeilentausch	Vorzeichenwechsel
Nullzeile/-spalte	det(A) = 0

Für n×n-Matrix: det(A) = 0 ⟺ A ist singulär (nicht invertierbar)

Häufig gestellte Fragen zum Inverse-Matrix-Rechner

Was ist eine inverse Matrix?

Die Inverse A⁻¹ erfüllt A × A⁻¹ = I (Einheitsmatrix). Eine Inverse existiert nur, wenn die Matrix quadratisch ist und die Determinante nicht 0 beträgt.

Wie berechne ich die Inverse einer 2x2-Matrix?

Für A = [[a,b],[c,d]] gilt A⁻¹ = 1/det(A) × [[d,-b],[-c,a]]. Vorher musst du det(A) = ad - bc prüfen, denn bei det(A) = 0 gibt es keine Inverse.

Was ist die Determinante?

Für 2×2: det([[a,b],[c,d]]) = ad - bc. Ist sie 0, existiert keine Inverse.

Wofür braucht man inverse Matrizen?

Lösung linearer Gleichungssysteme (x = A⁻¹×b), Koordinatentransformationen, Kryptographie.

Wie berechne ich die Inverse einer 3x3-Matrix?

Mit Gauß-Jordan-Elimination: [A|I] umformen zu [I|A⁻¹]. Oder über Adjunkte und Determinante.

Was ist eine singuläre Matrix?

Matrix mit det = 0. Hat keine Inverse. Zeilen/Spalten sind linear abhängig.

Wie prüfe ich, ob meine Inverse korrekt ist?

Multipliziere die Matrix mit der berechneten Inversen. A × A⁻¹ muss die Einheitsmatrix I ergeben. Zur Kontrolle kannst du auch A⁻¹ × A prüfen.

Was ist die Einheitsmatrix?

I hat Einsen auf der Diagonale, sonst Nullen. A × I = I × A = A für jede Matrix A.

Warum hat eine Matrix mit Determinante 0 keine Inverse?

Bei Determinante 0 sind Zeilen oder Spalten linear abhängig. Die Matrix bildet den Raum nicht eindeutig ab. Deshalb kann es keine Rückabbildung geben, die jedes Ergebnis eindeutig zum Ausgangswert zurückführt.

Warum können inverse Matrizen numerisch empfindlich sein?

Wenn die Determinante sehr nahe bei 0 liegt oder die Matrix schlecht konditioniert ist, können kleine Rundungsfehler stark verstärkt werden. Dann ist das Ergebnis rechnerisch möglich, aber praktisch unzuverlässig.

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Inverse Matrix

Formel für 2×2 Matrix

Eigenschaften der Inversen

Wie berechne ich das?

ƒInverse Matrix

Variablen

Matrix-Operationen

Determinanten-Eigenschaften

Häufig gestellte Fragen zum Inverse-Matrix-Rechner

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ƒInverse Matrix

Variablen

Matrix-Operationen

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