Kombinatorik Rechner

Permutation: Alle Anordnungen von n Objekten (Reihenfolge wichtig, alle werden verwendet). Variation: k aus n auswählen, Reihenfolge wichtig. Kombination: k aus n auswählen, Reihenfolge egal (wie Lotto). Die Formeln unterscheiden sich entsprechend.

Ohne Wiederholung: Jedes Element kann nur einmal gewählt werden (wie beim Lotto - eine Zahl nur einmal). Mit Wiederholung: Elemente können mehrfach gewählt werden (wie bei PIN-Codes - Ziffern können sich wiederholen).

Lotto ist eine Kombination ohne Wiederholung: C(49,6) = 49!/(6!×43!) = 13.983.816. Die Wahrscheinlichkeit auf 6 Richtige ist also 1 zu ca. 14 Millionen. Die Reihenfolge der gezogenen Zahlen spielt keine Rolle.

n! (Fakultät) ist das Produkt aller positiven ganzen Zahlen von 1 bis n. Beispiel: 5! = 1×2×3×4×5 = 120. Per Definition gilt: 0! = 1. Die Fakultät wächst extrem schnell: 10! = 3.628.800, 20! ≈ 2,4 Trillionen.

Der Binomialkoeffizient 'n über k' (geschrieben als C(n,k) oder (n k)) gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, k Elemente aus n Elementen auszuwählen, ohne Beachtung der Reihenfolge. Formel: n!/(k!(n-k)!).

Frage 1: Ist die Reihenfolge wichtig? Ja → Variation/Permutation, Nein → Kombination. Frage 2: Kann ein Element mehrfach vorkommen? Ja → mit Wiederholung, Nein → ohne Wiederholung. Frage 3: Werden alle Elemente verwendet? Ja → Permutation.

Das ist eine Variation mit Wiederholung: V(10,4) = 10^4 = 10.000 Möglichkeiten (0000 bis 9999). Bei 6 Ziffern: 10^6 = 1.000.000. Jede Ziffer (0-9) kann an jeder Stelle stehen, auch mehrfach.

Wahrscheinlichkeitsrechnung (Lotto, Würfeln), Kryptographie (Passwort-Stärke), Informatik (Algorithmen), Genetik (DNA-Kombinationen), Spieltheorie (Strategien), Statistik (Stichproben), Logistik (Routenplanung).

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