Seite a-Eine der beiden Seiten, die den Winkel γ einschließen.
b
Seite b-Die zweite Seite, die den Winkel γ einschließt.
c
Seite c-Die Seite gegenüber dem Winkel γ.
γ
Winkel Gamma-Der eingeschlossene Winkel zwischen Seite a und Seite b.
Kosinussatz-Fälle im Vergleich
Der Rechner deckt die beiden klassischen Fälle ab: Seite c aus zwei Seiten und Winkel sowie Winkel γ aus drei Seiten.
Fall
Eingaben
Ergebnis
Einordnung
SWS
a = 7 cm, b = 9 cm, γ = 60 °
8,19 cm, 60,00 °, spitzwinklig
Seite c liegt gegenüber dem eingeschlossenen Winkel.
SSS
a = 7 cm, b = 9 cm, c = 8 cm
8,00 cm, 58,41 °, spitzwinklig
Der Winkel γ wird aus den drei Seiten zurückgerechnet.
Rechter Sonderfall
a = 7 cm, b = 9 cm, γ = 90 °
11,40 cm, 90,00 °, rechtwinklig
Der Kosinusterm wird 0 und Pythagoras passt als Kontrolle.
Stumpfer Winkel
a = 7 cm, b = 9 cm, γ = 120 °
13,89 cm, 120,00 °, stumpfwinklig
Seite c wird größer, weil der eingeschlossene Winkel weiter aufgeht.
SWS bedeutet Seite, Winkel, Seite. SSS bedeutet drei Seiten. In beiden Fällen ist die Zuordnung der Gegenseite entscheidend.
Wie der Winkel die Seite c verändert
Bei gleichen Seiten a und b wird Seite c nur durch den eingeschlossenen Winkel γ verändert.
γ
Seite c
Fläche
Dreiecksart
30 °
4,57 cm
15,75 cm²
stumpfwinklig
60 °
8,19 cm
27,28 cm²
spitzwinklig
90 °
11,40 cm
31,50 cm²
rechtwinklig
120 °
13,89 cm
27,28 cm²
stumpfwinklig
Die Tabelle nutzt a = 7 cm und b = 9 cm. Bei anderen Seiten bleibt der Zusammenhang gleich, nur die absoluten Werte ändern sich.
Häufig gestellte Fragen zum Kosinussatz-Rechner
Was berechnet der Kosinussatz-Rechner?
Der Rechner berechnet entweder Seite c aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel γ oder den Winkel γ aus drei Seiten. Zusätzlich zeigt er Fläche, Umfang, die übrigen Winkel und die Dreiecksart. Dadurch erkennst du schneller, ob das Ergebnis zur Skizze passt.
Wann ist der Kosinussatz die richtige Formel?
Der Kosinussatz passt, wenn zwei Seiten und der Winkel zwischen diesen beiden Seiten bekannt sind. Er passt auch, wenn alle drei Seiten bekannt sind und ein Winkel gesucht wird. Fehlt diese Zuordnung, ist oft der Sinussatz oder eine andere Dreiecksformel der bessere Einstieg.
Was bedeutet eingeschlossener Winkel?
Der eingeschlossene Winkel liegt direkt zwischen den beiden bekannten Seiten. Wenn du Seite a und Seite b eingibst, muss γ genau der Winkel zwischen diesen Seiten sein. Ein Winkel an einer anderen Stelle gehört zu einer anderen Gegenseite und würde ein anderes Dreieck beschreiben.
Warum prüft der Rechner bei drei Seiten die Dreiecksungleichung?
Drei Seiten bilden nur dann ein Dreieck, wenn jede Seite kürzer ist als die Summe der beiden anderen Seiten. Ohne diese Prüfung könnte die arccos-Formel einen scheinbar plausiblen Wert liefern, obwohl geometrisch kein Dreieck existiert. Der Rechner bricht deshalb vorher ab.
Was passiert beim Winkel 90 Grad?
Bei 90 Grad ist cos(γ) gleich 0. Der Term 2ab mal cos(γ) verschwindet und es bleibt c² = a² + b². Der Kosinussatz wird in diesem Sonderfall zum Satz des Pythagoras. Das ist eine gute Kontrolle für rechtwinklige Dreiecke.
Wie unterscheiden sich Kosinussatz und Sinussatz?
Der Kosinussatz verbindet zwei Seiten mit dem eingeschlossenen Winkel oder drei Seiten mit einem gesuchten Winkel. Der Sinussatz arbeitet mit Gegenpaaren aus Seite und gegenüberliegendem Winkel. Sobald ein solches Gegenpaar bekannt ist, kann der Sinussatz oft kürzer sein.
Warum sind sehr kleine Winkel kritisch?
Bei sehr kleinen Winkeln liegen zwei Seiten fast auf derselben Linie. Dann wird die gegenüberliegende Seite klein und empfindlich. Schon kleine Messfehler beim Winkel oder bei den Seiten können das Ergebnis sichtbar verschieben. Runde in solchen Fällen erst am Ende.
Welche Seite liegt dem Winkel γ gegenüber?
In der üblichen Schreibweise liegt Seite c dem Winkel γ gegenüber. Seite a und Seite b schließen γ ein. Diese Zuordnung ist der Kern des Kosinussatzes. Wenn deine Skizze andere Buchstaben nutzt, kannst du sie verwenden, musst aber Gegenseite und eingeschlossenen Winkel konsequent übertragen.
Kann ich mit dem Rechner auch Fläche und Umfang bestimmen?
Ja. Sobald der Rechner ein vollständiges Dreieck bestimmen kann, berechnet er auch Fläche und Umfang. Bei zwei Seiten und eingeschlossenem Winkel entsteht die Fläche direkt aus 0,5 mal a mal b mal sin(γ). Bei drei Seiten kommt dieselbe Fläche über den zurückgerechneten Winkel zustande.
Wie genau sollte ich beim Kosinussatz runden?
Für Schulaufgaben reicht oft die vorgegebene Rundung, zum Beispiel zwei Nachkommastellen. Für Messungen, Zuschnitt oder technische Skizzen solltest du mit ungerundeten Zwischenwerten weiterrechnen und erst das Endergebnis runden. Mehr Nachkommastellen helfen nur, wenn die Eingaben entsprechend genau sind.