Seite b-Eine der beiden Seiten, die den Winkel A einschließen.
c
Seite c-Die zweite Seite, die den Winkel A einschließt.
Beispielwerte für Winkel im Dreieck
Die Beispiele zeigen die wichtigsten Berechnungsfälle: Seiten, Winkel, rechtwinklige Dreiecke und zwei Seiten mit eingeschlossenem Winkel.
Ausgangslage
Eingaben
Winkel A, B, C
Typ
Drei Seiten bekannt
a = 3, b = 4, c = 5
36,87 °, 53,13 °, 90 °
rechtwinklig, ungleichseitig
Zwei Winkel bekannt
A = 50 °, B = 60 °
50 °, 60 °, 70 °
spitzwinklig
Rechtwinkliges Dreieck
Ankathete = 4, Gegenkathete = 3
36,87 °, 53,13 °, 90 °
rechtwinklig, Hypotenuse 5
Zwei Seiten und eingeschlossener Winkel
b = 7, c = 9, A = 40 °
40 °, 51,05 °, 88,95 °
spitzwinklig, Seite a 5,79
Die Winkel sind auf zwei Nachkommastellen gerundet. Für technische Zeichnungen und Prüfungsaufgaben solltest du die Rundungsvorgabe der Aufgabe übernehmen.
Welche Eingaben reichen für eine Winkelberechnung?
Nicht jede Kombination aus Werten bestimmt ein Dreieck eindeutig. Diese Fälle deckt der Rechner ab.
Bekannt
Hauptformel
Zusätzlich bestimmbar
Drei Seiten
Kosinussatz
Alle Winkel, Umfang, Fläche, Höhen und Dreiecksart.
Zwei Winkel
Winkelsumme 180 °
Der dritte Winkel und die Winkelart. Seiten und Fläche bleiben offen.
Zwei Katheten im rechtwinkligen Dreieck
Tangens und Pythagoras
Beide spitzen Winkel, Hypotenuse, Umfang und Fläche.
Zwei Seiten und eingeschlossener Winkel
Kosinussatz, danach Sinus- oder Kosinussatz
Dritte Seite, alle Winkel, Umfang und Fläche.
Zwei Seiten ohne passenden Winkel reichen nicht immer eindeutig. Der Rechner fragt deshalb nach dem eingeschlossenen Winkel, wenn nur zwei Seiten gegeben sind.
Dritten Winkel aus zwei bekannten Winkeln berechnen
Wenn zwei Winkel bekannt sind, folgt der dritte aus 180 ° minus Winkel A minus Winkel B. Die Tabelle zeigt typische Grenzfälle ohne erfundene Seitenlängen.
Bekannte Winkel
Dritter Winkel
Dreiecksart
Einordnung
50 ° und 60 °
70 °
spitzwinklig
Alle Winkel bleiben kleiner als 90 °.
45 ° und 45 °
90 °
rechtwinklig
Der dritte Winkel macht das Dreieck rechtwinklig.
30 ° und 40 °
110 °
stumpfwinklig
Der fehlende Winkel ist größer als 90 °.
80 ° und 80 °
20 °
spitzwinklig
Der Restwinkel ist klein, aber geometrisch möglich.
Nur mit Winkeln bleiben Seiten, Umfang und Fläche unbestimmt. Für diese Werte braucht der Rechner zusätzlich Seitenlängen.
Winkelarten im Dreieck einordnen
Die größte Winkelgröße bestimmt, ob ein Dreieck spitzwinklig, rechtwinklig oder stumpfwinklig ist.
Dreiecksart
Bedingung
Bedeutung
Spitzwinklig
Alle Winkel sind kleiner als 90 °.
Der Höhenschnittpunkt liegt innerhalb des Dreiecks.
Rechtwinklig
Ein Winkel beträgt 90 °.
Pythagoras und Winkelfunktionen lassen sich direkt nutzen.
Stumpfwinklig
Ein Winkel ist größer als 90 °.
Die längste Seite liegt dem stumpfen Winkel gegenüber.
Die Einordnung nutzt gerundete Winkel. Bei sehr knappen Grenzfällen kann eine genauere Rundung nötig sein.
Häufig gestellte Fragen zum Winkel im Dreieck berechnen
Was berechnet der Dreieck-Winkel-Rechner?
Der Rechner berechnet Winkel in einem Dreieck aus den Angaben, die du wirklich hast. Das können drei Seiten, zwei Winkel, zwei Katheten im rechtwinkligen Dreieck oder zwei Seiten mit eingeschlossenem Winkel sein. Zusätzlich zeigt er Dreiecksart, Seiten, Umfang und Fläche, wenn diese Werte aus den Eingaben eindeutig bestimmbar sind.
Wann reichen zwei Winkel aus?
Zwei Winkel reichen aus, um den dritten Winkel zu berechnen, weil die Winkelsumme im Dreieck immer 180 ° beträgt. Seitenlängen, Umfang und Fläche sind damit aber noch nicht eindeutig. Ein kleines und ein großes Dreieck können dieselben Winkel haben. Deshalb zeigt der Rechner in diesem Fall keine erfundenen Seitenwerte.
Wie berechnet man Winkel aus drei Seiten?
Wenn alle drei Seiten bekannt sind, nutzt der Rechner den Kosinussatz. Für Winkel A wird die Seite a als gegenüberliegende Seite betrachtet. Die Seiten b und c schließen den Winkel ein. Vor der Berechnung prüft der Rechner die Dreiecksungleichung, damit aus unmöglichen Seiten kein scheinbar plausibler Winkel entsteht.
Was ist der eingeschlossene Winkel?
Der eingeschlossene Winkel liegt zwischen den beiden bekannten Seiten. Wenn du zum Beispiel Seite b und Seite c eingibst, ist der eingeschlossene Winkel der Winkel A zwischen diesen beiden Seiten. Das ist wichtig, weil zwei Seiten mit einem nicht passenden Winkel ein anderes Dreieck ergeben würden.
Wie funktioniert die Winkelberechnung im rechtwinkligen Dreieck?
Im rechtwinkligen Dreieck kennt man einen Winkel bereits: 90 °. Wenn die beiden Katheten bekannt sind, berechnet der Rechner den gesuchten spitzen Winkel mit dem Tangens. Aus Gegenkathete geteilt durch Ankathete entsteht der Tangenswert. Der zweite spitze Winkel ergibt sich anschließend aus 90 ° minus dem ersten spitzen Winkel.
Warum prüft der Rechner die Dreiecksungleichung?
Drei Seiten bilden nur dann ein Dreieck, wenn jede Seite kürzer ist als die Summe der beiden anderen Seiten. Bei 1, 2 und 4 klappt das zum Beispiel nicht. Ohne diese Prüfung würde eine Formel Zahlen ausgeben, obwohl geometrisch kein Dreieck existiert. Genau solche Schein-Ergebnisse sollen vermieden werden.
Warum ergeben die gerundeten Winkel manchmal nicht exakt 180 °?
Der Rechner rundet die angezeigten Winkel auf zwei Nachkommastellen. Durch diese Rundung können kleine Abweichungen entstehen, besonders bei sehr spitzen oder fast flachen Dreiecken. Intern wird mit genaueren Werten gerechnet. Für die Kontrolle in Schule oder Technik zählt am Ende die Rundungsvorgabe der Aufgabe.
Welche Seite liegt welchem Winkel gegenüber?
In der üblichen Dreiecksbezeichnung liegt Seite a gegenüber Winkel A, Seite b gegenüber Winkel B und Seite c gegenüber Winkel C. Das ist besonders beim Kosinussatz wichtig. Wenn du deine Skizze anders beschriftet hast, kannst du die Werte trotzdem eintragen, solange du die Zuordnung konsequent übernimmst.
Wann ist ein Dreieck rechtwinklig?
Ein Dreieck ist rechtwinklig, wenn ein Winkel 90 ° beträgt. Bei Seitenangaben erkennt man das auch daran, dass die längste Seite die Hypotenuse ist und die beiden kürzeren Seiten den Satz des Pythagoras erfüllen. Der Rechner weist rechtwinklige Ergebnisse aus, wenn der größte Winkel rechnerisch bei 90 ° liegt.
Was bedeutet spitzwinklig oder stumpfwinklig?
Spitzwinklig bedeutet, dass alle drei Winkel kleiner als 90 ° sind. Stumpfwinklig bedeutet, dass ein Winkel größer als 90 ° ist. Mehr als einen stumpfen Winkel kann ein Dreieck nicht haben, weil die Winkelsumme sonst über 180 ° liegen würde. Die Einordnung hilft, Skizzen und Ergebnisse schnell zu prüfen.
Kann ich mit dem Rechner auch Fläche und Umfang bestimmen?
Ja, aber nur, wenn die Eingaben das Dreieck vollständig bestimmen. Bei drei Seiten, zwei Katheten im rechtwinkligen Dreieck oder zwei Seiten mit eingeschlossenem Winkel sind Umfang und Fläche eindeutig. Bei nur zwei Winkeln fehlen die Seitenlängen. Dann bleiben Umfang und Fläche bewusst leer.
Was sollte ich bei sehr kleinen Winkeln beachten?
Sehr kleine Winkel machen ein Dreieck empfindlich. Schon kleine Messfehler bei Seiten oder Winkeln können das Ergebnis deutlich verschieben. Wenn der Rechner vor einem sehr kleinen Winkel warnt, solltest du die Eingaben aus der Aufgabe, Skizze oder Messung besonders genau prüfen und nicht zu früh runden.