Z-Wert-Rechner

Der Z-Wert gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Datenpunkt vom Mittelwert entfernt ist. Formel: Z = (Wert - Mittelwert) / Standardabweichung. Ein Z-Wert von 2 bedeutet, dass der Wert 2 Standardabweichungen über dem Mittelwert liegt. Z-Werte ermöglichen den Vergleich verschiedener Verteilungen.

Z = 0: Exakt am Mittelwert. Z = 1: Eine Standardabweichung über dem Mittelwert (84,13 % der Werte darunter). Z = 2: Zwei Standardabweichungen (97,72 % darunter). Z = -1: Eine Standardabweichung unter dem Mittelwert (15,87 % darunter). Je höher der Betrag, desto seltener der Wert.

Die Standardnormalverteilung ist eine Normalverteilung mit Mittelwert 0 und Standardabweichung 1. Jeder normalverteilte Datensatz kann durch Z-Transformation in die Standardnormalverteilung überführt werden. Die Tabellenwerte (Phi-Tabelle) beziehen sich auf diese Verteilung.

Der p-Wert ist die Wahrscheinlichkeit, einen so extremen oder extremeren Z-Wert zu erhalten. Für einseitige Tests: p = 1 - Phi(Z) für Z > 0. Für zweiseitige Tests: p = 2 × (1 - Phi(|Z|)). Beispiel: Z = 1,96 entspricht p = 0,05 (zweiseitig), also der 95 %-Signifikanzgrenze.

Bei Normalverteilung liegen: 68,27 % der Werte zwischen Z = -1 und Z = +1. 95,45 % zwischen Z = -2 und Z = +2. 99,73 % zwischen Z = -3 und Z = +3. Werte außerhalb von ±3 sind extrem selten (nur 0,27 %). Diese Regel wird auch '3-Sigma-Regel' genannt.

Hauptanwendungen: Hypothesentests (Signifikanztests), Vergleich unterschiedlicher Verteilungen (z. B. Schulnoten verschiedener Fächer), Qualitätskontrolle (Ausreißer-Erkennung), Standardisierung von Daten für Machine Learning, Berechnung von Konfidenzintervallen.

Z-Wert: Bei bekannter Populationsstandardabweichung oder großen Stichproben (n > 30). T-Wert: Bei geschätzter Standardabweichung aus kleinen Stichproben. Die t-Verteilung hat 'dickere Enden' als die Normalverteilung und nähert sich dieser bei großem n an.

Faustregel: Werte mit |Z| > 3 sind potenzielle Ausreißer. Bei strengeren Kriterien: |Z| > 2,5. In manchen Bereichen (z. B. Finanzanalyse): |Z| > 2. Wichtig: Bei nicht-normalverteilten Daten sind Z-Wert-basierte Ausreißer-Tests weniger aussagekräftig.

Theoretisch ja, praktisch nicht. Bei Normalverteilung: |Z| > 4 ist extrem selten (0,0063 %). |Z| > 5 ist quasi unmöglich (0,00006 %). Das '6-Sigma'-Qualitätsziel bedeutet Z = 6, also nur 3,4 Fehler pro Million. Sehr hohe Z-Werte deuten auf Nicht-Normalverteilung hin.

Das Perzentil entspricht der kumulierten Wahrscheinlichkeit Phi(Z). Beispiele: Z = 0 → 50. Perzentil (Median). Z = 1 → 84,13. Perzentil. Z = 1,645 → 95. Perzentil. Z = 2,326 → 99. Perzentil. Z = -1 → 15,87. Perzentil. Online-Rechner oder Tabellen liefern genaue Werte.

Die Berechnungen basieren auf aktuellen mathematischen Formeln und Standards. Die Genauigkeit hängt von der Qualität der eingegebenen Daten ab. Für rechtlich bindende Berechnungen sollten Sie einen Fachexperten konsultieren.

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