Berechne den Wendepunkt und den Krümmungswechsel kubischer Funktionen. Du bekommst zusätzlich die Ableitungen, die Steigung und die Wendetangente dazu.
Kubische Funktion und Rundung
Berechne den Wendepunkt von f(x)=ax³+bx²+cx+d mit Ableitungen, Krümmungswechsel und Wendetangente.
Wendepunkt, Krümmung und Tangente
Ergebnis mit Wendepunkt, Ableitungen, Steigung, Wendetangente und Krümmungswechsel.
Gib die Koeffizienten der kubischen Funktion ein, um den Wendepunkt zu berechnen.
Koeffizient vor x³-Muss ungleich 0 sein, damit die Funktion kubisch ist.
b
Koeffizient vor x²-Bestimmt zusammen mit a die Lage der Wendestelle.
xW
Wendestelle-x-Wert, an dem die zweite Ableitung 0 wird.
f′′′(x)
dritte Ableitung-Bei einer echten kubischen Funktion ist sie ungleich 0 und bestätigt den Krümmungswechsel.
Beispiele für Wendepunkte kubischer Funktionen
Bei kubischen Funktionen reicht die zweite Ableitung für die Wendestelle. Die dritte Ableitung zeigt danach, ob die Krümmung wirklich wechselt.
Fall
Funktion
Wendepunkt
Steigung
Wendetangente
Kubische Standardfunktion
f(x) = x³ - 3 x² + 2
W(1 | 0)
-3,00
y = -3 x + 3
Sattelpunkt
f(x) = x³
W(0 | 0)
0,00
y = 0
Fallender Krümmungswechsel
f(x) = -0,5 x³ + 3 x² - 2 x + 1
W(2 | 5)
4,00
y = 4 x - 3
Quadratische Funktion
f(x) = 2 x² - 4 x + 1
kein Wendepunkt
kein Wert
keine
Rechenweg vom Polynom zum Wendepunkt
Der Wendepunkt ist kein beliebiger Punkt mit f''(x)=0. Erst der Krümmungswechsel macht ihn zu einem echten Wendepunkt.
Schritt
Rechnung
Bedeutung
Ableiten
f'(x), f''(x), f'''(x)
Die zweite Ableitung beschreibt die Krümmung, die dritte Ableitung prüft den Wechsel.
Wendestelle finden
f''(xW) = 0
Bei ax³+bx²+cx+d ergibt sich xW = -b/(3a).
Punkt berechnen
W = (xW | f(xW))
Der y-Wert entsteht durch Einsetzen der Wendestelle in die Funktion.
Tangente bestimmen
m = f'(xW)
Die Wendetangente nutzt dieselbe Steigung wie die Funktion an dieser Stelle.
Was die Koeffizienten im Wendepunkt-Rechner verändern
Nicht jeder Koeffizient verschiebt den Wendepunkt auf dieselbe Weise. Besonders a und b bestimmen die x-Lage, c und d verändern vor allem Höhe und Tangente.
Koeffizient
Wirkung
Typischer Fehler
a
Macht die Funktion kubisch und bestimmt die Richtung des Krümmungswechsels.
a = 0 einsetzen und trotzdem einen kubischen Wendepunkt erwarten.
b
Verschiebt die Wendestelle nach links oder rechts.
b mit dem linearen Koeffizienten c verwechseln.
c
Verändert die Steigung der Wendetangente.
c in die Formel für xW aufnehmen, obwohl xW nur von a und b abhängt.
d
Verschiebt den y-Wert des Wendepunkts.
d beim Einsetzen in f(xW) vergessen.
Häufig gestellte Fragen zum Wendepunkt-Rechner
Was berechnet der Wendepunkt-Rechner?
Der Rechner bestimmt den Wendepunkt einer kubischen Funktion f(x)=ax³+bx²+cx+d. Er berechnet die Ableitungen, setzt die zweite Ableitung gleich 0, bestimmt den Punkt W und zeigt zusätzlich die Steigung sowie die Wendetangente.
Welche Funktionen kann der Rechner auswerten?
Der Rechner ist auf kubische Polynome ausgelegt. Das passt gut zu vielen Aufgaben aus der Kurvendiskussion, weil der Wendepunkt dort direkt aus a und b entsteht. Wenn a = 0 ist, zeigt der Rechner sauber, dass in diesem Modell kein kubischer Wendepunkt vorliegt.
Wie lautet die Formel für die Wendestelle?
Für f(x)=ax³+bx²+cx+d lautet die zweite Ableitung f''(x)=6ax+2b. Wenn a nicht 0 ist, ergibt das beim Nullsetzen xW = -b/(3a). Danach wird xW in die ursprüngliche Funktion eingesetzt, damit aus der Wendestelle ein Punkt wird.
Warum hängen c und d nicht direkt in der Formel für xW?
c und d verschwinden beim zweiten Ableiten. Deshalb bestimmen sie die x-Lage des Wendepunkts nicht direkt. Trotzdem bleiben beide Koeffizienten relevant. c verändert die Steigung im Wendepunkt, d verschiebt den y-Wert der Funktion.
Was bedeutet der Krümmungswechsel?
Am Wendepunkt ändert sich die Krümmungsrichtung der Kurve. Vor dem Punkt ist der Graph zum Beispiel rechtsgekrümmt, danach linksgekrümmt. Genau dieser Wechsel unterscheidet einen echten Wendepunkt von einer Stelle, an der nur zufällig f''(x)=0 gilt.
Wann entsteht ein Sattelpunkt?
Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit Steigung 0. Die Funktion wechselt dort weiterhin die Krümmung, die Tangente ist aber waagerecht. Der Rechner erkennt diesen Fall, wenn f'(xW) gleich 0 ist.
Warum hat eine Parabel keinen Wendepunkt?
Eine Parabel hat eine konstante zweite Ableitung. Die Krümmung bleibt also durchgehend gleich und wechselt die Richtung nicht. Deshalb reicht f''(x)=0 allein nicht als Idee, wenn die Funktion gar nicht kubisch ist.
Wie prüfe ich den berechneten Wendepunkt?
Setze den x-Wert zuerst in f''(x) ein. Dort muss 0 herauskommen. Danach prüfst du, ob f'''(x) ungleich 0 ist oder ob f''(x) links und rechts der Stelle unterschiedliche Vorzeichen hat. Erst dann ist der Punkt ein echter Wendepunkt.
Was zeigt die Wendetangente?
Die Wendetangente ist die Tangente an die Funktion genau im Wendepunkt. Die Steigung dieser Geraden ist f'(xW). Das hilft bei der Kontrolle, weil die Gerade durch W laufen muss und die lokale Richtung der Kurve an der Wendestelle zeigt.
Welche Rundung ist sinnvoll?
Für Schulaufgaben reichen meist zwei Nachkommastellen, solange die Werte nicht sehr krumm sind. Wenn du den Punkt später in eine Probe einsetzt, sind mehr Nachkommastellen besser. Der Rechner rundet die Ausgabe, nicht die Eingaben.