f'(x) = erste Ableitung, f''(x) = zweite Ableitung, f'''(x) = dritte Ableitung
Wichtige Ableitungsregeln
Regel
Funktion f(x)
Ableitung f'(x)
Beispiel
Potenzregel
xⁿ
n · xⁿ⁻¹
x³ → 3x²
Faktorregel
c · f(x)
c · f'(x)
5x² → 10x
Summenregel
f(x) + g(x)
f'(x) + g'(x)
x² + 3x → 2x + 3
Produktregel
f(x) · g(x)
f'·g + f·g'
x·eˣ → eˣ + x·eˣ
Quotientenregel
f(x) / g(x)
(f'·g – f·g') / g²
x/x² → –1/x²
Kettenregel
f(g(x))
f'(g(x)) · g'(x)
(2x+1)³ → 6(2x+1)²
e-Funktion
eˣ
eˣ
e²ˣ → 2e²ˣ
ln-Funktion
ln(x)
1/x
ln(2x) → 1/x
Für höhere Ableitungen: Regeln mehrfach anwenden. Bei zusammengesetzten Funktionen oft Kettenregel erforderlich.
Häufig gestellte Fragen zum Kurvendiskussion-Rechner
Was ist eine Kurvendiskussion?
Eine Kurvendiskussion analysiert den Verlauf einer Funktion systematisch. Sie umfasst: Definitionsbereich, Nullstellen, Symmetrie, Extrempunkte (Hoch-/Tiefpunkte), Wendepunkte, Monotonie, Krümmungsverhalten und Grenzwertbetrachtung. Sie ist ein zentrales Thema in der Analysis.
Wie finde ich Nullstellen einer Funktion?
Nullstellen: f(x) = 0 setzen und nach x auflösen. Bei Polynomen: Faktorisieren, Mitternachtsformel (Grad 2), Polynomdivision (höhere Grade). Bei höheren Graden: Raten einer Nullstelle, dann Polynomdivision. Numerisch: Newton-Verfahren, Bisektionsverfahren.
Wie berechne ich Extrempunkte?
1) Erste Ableitung f'(x) = 0 setzen → kritische Stellen. 2) Zweite Ableitung prüfen: f''(x) < 0 → Maximum, f''(x) > 0 → Minimum, f''(x) = 0 → weitere Analyse nötig. 3) y-Werte berechnen: f(x) an den kritischen Stellen.
Wie finde ich Wendepunkte?
1) Zweite Ableitung f''(x) = 0 setzen → mögliche Wendestellen. 2) Dritte Ableitung prüfen: f'''(x) ≠ 0 → tatsächlicher Wendepunkt. Alternativ: Vorzeichenwechsel von f''(x) prüfen. 3) y-Werte berechnen: f(x) an den Wendestellen.
Was bedeutet Monotonie einer Funktion?
Monotonie beschreibt das Steigungsverhalten: Streng monoton steigend: f'(x) > 0, Graph steigt von links nach rechts. Streng monoton fallend: f'(x) < 0, Graph fällt. Konstant: f'(x) = 0. Zwischen Extrempunkten wechselt die Monotonie.
Wie erkenne ich Symmetrie?
Achsensymmetrie zur y-Achse: f(-x) = f(x), nur gerade Exponenten. Punktsymmetrie zum Ursprung: f(-x) = -f(x), nur ungerade Exponenten. Keine Symmetrie: Gemischte Exponenten oder f(-x) ≠ ±f(x). Symmetrie prüfen spart Rechenarbeit.
Was ist das Krümmungsverhalten?
Krümmung zeigt, ob der Graph eine Linkskurve oder Rechtskurve macht: f''(x) > 0 → linksgekrümmt (konvex, nach oben offen). f''(x) < 0 → rechtsgekrümmt (konkav, nach unten offen). An Wendepunkten wechselt die Krümmung.
Wie untersuche ich das Verhalten im Unendlichen?
Grenzwerte für x → ±∞ betrachten: Bei Polynomen entscheidet der führende Term (höchste Potenz). Gerade Potenz: Beide Enden gleich. Ungerade Potenz: Enden entgegengesetzt. Beispiel: f(x) = x³ → f(+∞) = +∞, f(-∞) = -∞.
Wie genau sind die Berechnungen?
Die Berechnungen basieren auf aktuellen mathematischen Formeln und Standards. Die Genauigkeit hängt von der Qualität der eingegebenen Daten ab. Für rechtlich bindende Berechnungen solltest du einen Fachexperten konsultieren.
Was passiert mit meinen eingegebenen Daten?
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