f'(x) = erste Ableitung, f''(x) = zweite Ableitung, f'''(x) = dritte Ableitung
Wichtige Ableitungsregeln
Regel
Funktion f(x)
Ableitung f'(x)
Beispiel
Potenzregel
xⁿ
n · xⁿ⁻¹
x³ → 3x²
Faktorregel
c · f(x)
c · f'(x)
5x² → 10x
Summenregel
f(x) + g(x)
f'(x) + g'(x)
x² + 3x → 2x + 3
Produktregel
f(x) · g(x)
f'·g + f·g'
x·eˣ → eˣ + x·eˣ
Quotientenregel
f(x) / g(x)
(f'·g – f·g') / g²
x/x² → –1/x²
Kettenregel
f(g(x))
f'(g(x)) · g'(x)
(2x+1)³ → 6(2x+1)²
e-Funktion
eˣ
eˣ
e²ˣ → 2e²ˣ
ln-Funktion
ln(x)
1/x
ln(2x) → 1/x
Für höhere Ableitungen: Regeln mehrfach anwenden. Bei zusammengesetzten Funktionen oft Kettenregel erforderlich.
Häufig gestellte Fragen zum Kurvendiskussion-Rechner
Was ist eine Kurvendiskussion?
Eine Kurvendiskussion analysiert den Verlauf einer Funktion systematisch. Dazu gehören Definitionsbereich, Nullstellen, Symmetrie, Extrempunkte, Wendepunkte, Monotonie, Krümmungsverhalten und Grenzwertbetrachtung. Das Ziel ist nicht nur eine Liste von Punkten, sondern ein begründetes Bild des Funktionsgraphen.
Wie finde ich Nullstellen einer Funktion?
Für Nullstellen setzt du f(x) = 0 und löst nach x auf. Bei quadratischen Funktionen helfen Faktorisieren oder Mitternachtsformel. Bei Polynomen höheren Grades können Polynomdivision, Substitution oder numerische Verfahren wie Newton-Verfahren und Bisektion nötig sein. Gefundene Werte solltest du in die ursprüngliche Funktion einsetzen.
Wie berechne ich Extrempunkte?
Setze zuerst die erste Ableitung f′(x) = 0, um kritische Stellen zu finden. Danach prüfst du mit der zweiten Ableitung oder mit einem Vorzeichenwechsel von f′(x), ob ein Hochpunkt, Tiefpunkt oder Sattelpunkt vorliegt. Zum Schluss setzt du die x-Werte in f(x) ein, damit du die vollständigen Punkte erhältst.
Wie finde ich Wendepunkte?
Für Wendepunkte setzt du f″(x) = 0 und erhältst mögliche Wendestellen. Ein tatsächlicher Wendepunkt liegt vor, wenn die Krümmung wechselt. Das prüfst du über einen Vorzeichenwechsel von f″(x) oder, in vielen Standardfällen, über f‴(x) ≠ 0. Danach berechnest du den y-Wert mit f(x).
Was bedeutet Monotonie einer Funktion?
Monotonie beschreibt das Steigungsverhalten einer Funktion. Ist f′(x) in einem Intervall positiv, steigt der Graph dort. Ist f′(x) negativ, fällt der Graph. Für eine vollständige Kurvendiskussion untersuchst du die Vorzeichen von f′(x) in den Intervallen, die durch kritische Stellen und Definitionslücken entstehen.
Wie erkenne ich Symmetrie?
Achsensymmetrie zur y-Achse liegt vor, wenn f(-x) = f(x) gilt. Punktsymmetrie zum Ursprung liegt vor, wenn f(-x) = -f(x) gilt. Bei Polynomen geben gerade und ungerade Exponenten oft einen schnellen Hinweis. Gemischte Terme bedeuten aber nicht automatisch, dass keine andere Symmetrie möglich ist.
Was ist das Krümmungsverhalten?
Das Krümmungsverhalten beschreibt, ob der Graph links- oder rechtsgekrümmt ist. In vielen Schulkonventionen gilt: f″(x) > 0 bedeutet linksgekrümmt beziehungsweise konvex, f″(x) < 0 bedeutet rechtsgekrümmt beziehungsweise konkav. An einem Wendepunkt wechselt die Krümmung.
Wie untersuche ich das Verhalten im Unendlichen?
Betrachte die Grenzwerte für x gegen +∞ und -∞. Bei Polynomen entscheidet der führende Term mit der höchsten Potenz. Gerade höchste Potenzen führen an beiden Enden in dieselbe Richtung, ungerade höchste Potenzen in entgegengesetzte Richtungen. Bei gebrochenen Funktionen sind zusätzlich waagerechte, schiefe oder senkrechte Asymptoten wichtig.
Welche Reihenfolge ist bei einer Kurvendiskussion sinnvoll?
Praktisch ist diese Reihenfolge: Definitionsbereich, Symmetrie, Achsenschnittpunkte und Nullstellen, Verhalten an Rändern und im Unendlichen, Ableitungen, Extrempunkte, Wendepunkte, Monotonie und Krümmung. Danach kannst du den Graphen skizzieren. Der Definitionsbereich gehört an den Anfang, weil spätere Ergebnisse sonst ungültige Stellen enthalten können.
Was muss ich bei Definitionslücken und Polstellen beachten?
Definitionslücken dürfen nicht als normale Punkte behandelt werden. Bei gebrochenen Funktionen prüfst du, ob ein Nenner 0 wird. Manchmal lässt sich ein Faktor kürzen, dann entsteht eine hebbare Lücke. Bleibt der Nenner 0, kann eine Polstelle mit senkrechter Asymptote vorliegen. Grenzwerte von links und rechts zeigen dann das genaue Verhalten.