Tangentengleichung-Rechner

Berechne Tangente und Berührpunkt für quadratische Funktionen aus dem x-Wert. Du bekommst dazu Ableitung, Steigung, Normale und den passenden Winkel mit.

Funktion, Berührstelle und Rundung

Berechne die Tangente an f(x)=ax²+bx+c über Ableitung, Berührpunkt, Steigung und Achsenabschnitt.

Tangente, Normale und Rechenweg

Ergebnis mit Tangentengleichung, Berührpunkt, Ableitung, Steigung, Normaler und Winkel.

Gib Funktion und Berührstelle ein, um die Tangentengleichung zu berechnen.

Wie wird die Tangentengleichung berechnet?

ƒTangente an eine quadratische Funktion

m=f'(x_0),\quad n=f(x_0)-m x_0,\quad y=m x+n

Variablen

m

Steigung-Wert der Ableitung an der Berührstelle x0.

x_0

Berührstelle-x-Wert, an dem die Tangente die Funktion berührt.

f(x_0)

Funktionswert-y-Wert des Berührpunkts auf der Funktion.

n

Achsenabschnitt-Wert, bei dem die Tangente die y-Achse schneidet.

Beispiele für Tangenten an quadratische Funktionen

Die Beispiele zeigen steigende, fallende und waagerechte Tangenten. Entscheidend ist immer der Ableitungswert an genau der eingegebenen Berührstelle.

Fall	Funktion	Punkt	m	Tangente
Standardparabel	f(x) = x² - 3 x + 2	(2 \| 0)	1,00	y = x - 2
Scheitel-Tangente	f(x) = 2 x² - 8 x + 1	(2 \| -7)	0,00	y = -7
Fallende Tangente	f(x) = -x² + 4 x + 3	(3 \| 6)	-2,00	y = -2 x + 12
Lineare Funktion	f(x) = 2 x - 5	(4 \| 3)	2,00	y = 2 x - 5

Rechenweg von f(x) zur Tangente

Eine Tangentengleichung entsteht nicht durch Einsetzen eines beliebigen Punktes. Der Punkt muss auf der Funktion liegen und die Steigung muss aus der Ableitung kommen.

Schritt	Rechnung	Bedeutung
Ableiten	f'(x) = 2ax + b	Die Ableitung liefert die Steigung jeder Tangente.
Steigung einsetzen	m = f'(x0)	Nur die Steigung an x0 gehört zur gesuchten Tangente.
Berührpunkt berechnen	P = (x0 \| f(x0))	Die Tangente muss durch diesen Punkt laufen.
Achsenabschnitt bestimmen	n = f(x0) - m · x0	Damit wird aus Punkt und Steigung die Form y = mx + n.

Typische Fehler bei Tangentengleichungen

Viele falsche Tangenten sehen auf den ersten Blick plausibel aus. Meist wurde aber die Steigung an der falschen Stelle genommen oder der Berührpunkt nicht sauber eingesetzt.

Fehler	Folge	Prüfung
x0 nur in f(x) eingesetzt	Der Punkt stimmt, aber die Steigung fehlt.	Immer zusätzlich f'(x0) berechnen.
f'(x) statt f'(x0) genutzt	Die Steigung bleibt variabel und keine konkrete Gerade entsteht.	Nach dem Ableiten x0 einsetzen.
Achsenabschnitt geraten	Die Gerade hat richtige Steigung, läuft aber nicht durch den Berührpunkt.	n = y0 - m · x0 verwenden.
Normale mit Tangente verwechselt	Die Gerade steht senkrecht zur Tangente statt an der Funktion anzuliegen.	Normale nur mit mN = -1/m bilden.

Häufig gestellte Fragen zum Tangentengleichung-Rechner

Was berechnet der Tangentengleichung-Rechner?

Der Rechner bestimmt die Tangente an eine quadratische Funktion f(x)=ax²+bx+c an der Berührstelle x0. Er berechnet zuerst den Funktionswert, dann die Ableitung, daraus die Steigung und schließlich den Achsenabschnitt der Geraden.

Warum brauche ich die Ableitung für die Tangente?

Eine Tangente hat am Berührpunkt dieselbe Steigung wie die Funktion. Diese lokale Steigung steht in der Ableitung. Für quadratische Funktionen lautet sie f'(x)=2ax+b. Erst wenn x0 dort eingesetzt ist, entsteht die konkrete Steigung m.

Welche Form hat die Tangentengleichung?

Der Rechner gibt die Tangente in der Form y = mx + n aus. m ist die Steigung an der Berührstelle. n ist der y-Achsenabschnitt. Zusätzlich zeigt der Rechner die Punkt-Steigungsform, weil sich daran gut prüfen lässt, ob die Gerade wirklich durch den Berührpunkt läuft.

Was ist der Berührpunkt der Tangente?

Der Berührpunkt ist P=(x0 | f(x0)). Er liegt auf der Funktion und auf der Tangente. Wenn dieser Punkt falsch berechnet wird, kann die Steigung stimmen und die Tangente trotzdem an der falschen Stelle liegen.

Wann ist die Tangente waagerecht?

Die Tangente ist waagerecht, wenn die Steigung m gleich 0 ist. Bei einer echten Parabel ist das am Scheitelpunkt der Fall. Der Rechner erkennt diesen Fall und zeigt die Normale dann als senkrechte Gerade x = x0.

Was ist der Unterschied zwischen Tangente und Normaler?

Die Tangente berührt die Funktion und hat am Punkt x0 genau die Steigung der Funktion. Die Normale steht senkrecht auf der Tangente. Die Steigung der Normalen ist deshalb -1/m. Wenn die Tangente waagerecht ist, wird die Normale senkrecht.

Kann der Rechner auch lineare Funktionen verarbeiten?

Ja, wenn a = 0 ist, wird aus der quadratischen Funktion eine lineare Funktion. Dann ist die Tangente identisch mit der Funktion selbst. Der Rechner weist darauf hin, weil es in diesem Fall keine Parabelkrümmung gibt.

Wie prüfe ich eine Tangentengleichung?

Setze x0 in die Tangentengleichung ein. Es muss derselbe y-Wert wie bei f(x0) herauskommen. Danach vergleichst du die Steigung der Geraden mit f'(x0). Stimmen beide Werte, passt die Tangente zur eingegebenen Berührstelle.

Warum ist der Achsenabschnitt n nicht einfach c?

c ist der y-Achsenabschnitt der Parabel, nicht automatisch der Achsenabschnitt der Tangente. Die Tangente ist eine separate Gerade. Der Wert n entsteht aus n = f(x0) - m · x0 und hängt deshalb von Berührstelle und Steigung ab.

Welche Rundung sollte ich für die Tangentengleichung nutzen?

Für Schulaufgaben reichen oft zwei Nachkommastellen, wenn die Werte nicht glatt sind. Bei Brüchen, sehr großen Zahlen oder einer späteren Probe ist mehr Genauigkeit sinnvoll. Der Rechner rechnet intern mit den Eingaben und rundet die Ausgabe.

Tangentengleichung-Rechner

Funktion, Berührstelle und Rundung

Quadratische Funktion

Tangentenpunkt

Berührpunkt statt beliebiger Punkt

Tangente, Normale und Rechenweg

Wie wird die Tangentengleichung berechnet?

ƒTangente an eine quadratische Funktion

Variablen

Beispiele für Tangenten an quadratische Funktionen

Rechenweg von f(x) zur Tangente

Typische Fehler bei Tangentengleichungen

Häufig gestellte Fragen zum Tangentengleichung-Rechner

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ƒTangente an eine quadratische Funktion

Variablen

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Rechenweg von f(x) zur Tangente

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