Eine arithmetische Reihe ist die Summe einer arithmetischen Folge, bei der die Differenz d zwischen aufeinanderfolgenden Gliedern konstant ist. Formel: S_n = n/2 · (a₁ + a_n) = n/2 · (2a₁ + (n-1)d). Beispiel: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25.
Was ist eine geometrische Reihe?
Eine geometrische Reihe ist die Summe einer geometrischen Folge, bei der der Quotient q zwischen aufeinanderfolgenden Gliedern konstant ist. Formel: S_n = a₁ · (1 - q^n) / (1 - q) für q ungleich 1. Für |q| < 1 konvergiert die unendliche Reihe gegen a₁ / (1-q).
Was ist die Gauß-Summenformel?
Die Gauß-Summenformel berechnet 1 + 2 + 3 bis n mit n(n+1)/2. Für n = 100 ergibt sich 100·101/2 = 5.050. Der Gedanke dahinter ist Paarbildung: 1 + 100, 2 + 99 und so weiter ergeben immer 101.
Wann konvergiert eine geometrische Reihe?
Eine unendliche geometrische Reihe konvergiert, wenn |q| < 1. Der Grenzwert ist S = a₁/(1-q). Beispiel: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 und so weiter ergibt 1/(1-0,5) = 2. Für |q| ≥ 1 divergiert die Reihe.
Was ist eine Partialsumme?
Eine Partialsumme S_n ist die Summe der ersten n Glieder einer Reihe. Die Folge der Partialsummen zeigt, wie die Gesamtsumme wächst. Wenn die Partialsummen gegen einen festen Wert konvergieren, konvergiert die Reihe.
Was ist die Summenformel für Quadratzahlen?
Die Summe der ersten n Quadratzahlen lautet 1² + 2² + 3² bis n² = n(n+1)(2n+1)/6. Für n = 5 ergibt sich 5·6·11/6 = 55. Für Kubikzahlen gilt die eigene Formel (n(n+1)/2)².
Was ist das Summenzeichen (Sigma)?
Das Summenzeichen Sigma steht für eine Summe mit Laufindex, Startwert, Endwert und allgemeinem Term. Statt alle Summanden auszuschreiben, notiert man kompakt, welche Werte eingesetzt und addiert werden sollen.
Welche Eingaben braucht der Summenrechner?
Du brauchst den Startwert, den Endwert, den Term der Folge und bei speziellen Reihen zusätzliche Größen wie Differenz d oder Quotient q. Wichtig ist, ob eine endliche Summe oder eine unendliche Reihe berechnet werden soll.
Warum unterscheiden sich Folge und Reihe?
Eine Folge ist eine geordnete Liste von Zahlen, zum Beispiel a₁, a₂, a₃. Eine Reihe ist die Summe dieser Folgenglieder. Deshalb kann eine Folge unendlich weiterlaufen, während die zugehörige Reihe trotzdem einen endlichen Grenzwert haben kann.
Wann darf ich eine Summenformel nicht verwenden?
Eine Summenformel passt nur, wenn die Folge ihre Voraussetzungen erfüllt. Bei einer arithmetischen Reihe muss die Differenz konstant sein. Bei einer geometrischen Reihe muss der Quotient konstant sein. Weichen einzelne Glieder davon ab, muss direkt summiert werden.