Berechne den Kreis durch drei Punkte mit Mittelpunkt und Radius. Inklusive vollständiger Kreisgleichung, sicherer Probe und übersichtlichen Wertetabellen.
Drei Punkte eingeben
Gib die Koordinaten P1, P2 und P3 ein. Die Punkte müssen verschieden sein und dürfen nicht auf einer Linie liegen.
Kreisgleichung
Mittelpunkt, Radius, Gleichung und Probe
Gib drei Punkte ein, um den Kreis durch diese Punkte zu berechnen.
Determinante-d ist doppelt so groß wie der orientierte Flächenwert des Punktdreiecks.
M(h,k)
Kreismittelpunkt-M ist der Punkt mit gleichem Abstand zu allen drei Eingabepunkten.
r
Radius-r ist der Abstand vom Mittelpunkt zu einem der drei Punkte.
Beispiele für Kreise durch 3 Punkte
Die Punktlage entscheidet, ob der Kreis eng um das Punktdreieck liegt oder sehr groß wird.
Punkte
Mittelpunkt
Radius
Kreisgleichung
P1(0 | 0), P2(4 | 0), P3(0 | 3)
M(2 | 1,5)
2,5
(x - 2)² + (y - 1,5)² = 6,25
P1(-2 | 1), P2(2 | 1), P3(1 | 4)
M(0 | 2)
2,24
x² + (y - 2)² = 5
P1(-4 | 0), P2(4 | 0), P3(0 | 1)
M(0 | -7,5)
8,5
x² + (y + 7,5)² = 72,25
Die Standardform zeigt den Mittelpunkt direkt. Die erweiterte Form eignet sich besser zum Einsetzen in Gleichungssysteme.
Zwischengrößen im Rechenweg
Der Rechner nutzt dieselbe Geometrie wie die Konstruktion über Mittelsenkrechten, berechnet sie aber direkt aus den Koordinaten.
Größe
Bedeutung
Beispielwert
Determinante d
Prüft, ob die Punkte ein echtes Dreieck bilden.
24
Dreiecksfläche
Fläche des Dreiecks aus P1, P2 und P3.
6
Seite P1P2
Abstand zwischen erstem und zweitem Punkt.
4
Seite P2P3
Abstand zwischen zweitem und drittem Punkt.
5
Kreisfläche
Fläche des fertigen Kreises.
19,63
Wenn d nahe 0 liegt, sind die Punkte fast kollinear. Dann wird der Kreis numerisch empfindlich.
Eingabeprüfung für Punktkoordinaten
Diese Kontrollen verhindern Kreise, die mathematisch nicht eindeutig oder numerisch unbrauchbar wären.
Fall
Wirkung
Kontrolle im Rechner
Doppelte Punkte
Es fehlen drei verschiedene Punkte.
P1, P2 und P3 müssen paarweise verschieden sein.
Gerade Linie
Der Kreisradius wäre nicht eindeutig.
Die Determinante darf nicht 0 sein.
Sehr große Koordinaten
Rundungsfehler werden wahrscheinlicher.
Jede Koordinate ist auf ±1.000.000 begrenzt.
Starke Rundung
Mittelpunkt und Gleichung können zu grob wirken.
Bis zu 8 Nachkommastellen sind möglich.
Die Probe setzt alle drei Punkte wieder in die Kreisgleichung ein und zeigt den Restwert.
Häufig gestellte Fragen zum Kreis-durch-3-Punkte-Rechner
Wie berechnet der Kreis-durch-3-Punkte-Rechner den Mittelpunkt?
Der Rechner nutzt die Umkreisformel für drei Punkte. Aus den Koordinaten entsteht eine Determinante. Danach werden die x- und y-Koordinate des Mittelpunkts so berechnet, dass alle drei Punkte denselben Abstand zu diesem Mittelpunkt haben.
Warum reichen genau drei Punkte für einen Kreis?
Drei verschiedene Punkte legen einen Kreis eindeutig fest, wenn sie nicht auf einer geraden Linie liegen. Geometrisch schneiden sich die Mittelsenkrechten der Punktverbindungen im Kreismittelpunkt. Der Rechner berechnet denselben Punkt direkt aus den Koordinaten.
Wann gibt es keinen Kreis durch die drei Punkte?
Es gibt keinen eindeutigen Kreis, wenn zwei Punkte identisch sind oder wenn alle drei Punkte auf einer Geraden liegen. Bei einer geraden Linie wäre der Mittelpunkt unendlich weit entfernt. Deshalb bricht der Rechner solche Eingaben mit einer klaren Meldung ab.
Was bedeutet die Determinante im Ergebnis?
Die Determinante misst, ob die Punkte ein echtes Dreieck bilden. Ist sie 0, sind die Punkte kollinear. Je kleiner der Betrag der Determinante im Verhältnis zu den Koordinaten ist, desto empfindlicher reagiert der Kreis auf kleine Rundungsfehler.
Wie prüfe ich den berechneten Kreis?
Setze jeden Punkt in die Kreisgleichung ein. Für alle drei Punkte muss der Ausdruck (x - h)² + (y - k)² - r² nahe 0 liegen. Der Rechner zeigt diese Restwerte an, damit du Eingabefehler oder starke Rundung schnell erkennst.
Welche Kreisgleichung ist für die Weiterrechnung besser?
Die Mittelpunktform zeigt Mittelpunkt und Radius am klarsten. Die erweiterte Form x² + y² + D x + E y + F = 0 ist nützlich, wenn du den Kreis in ein Gleichungssystem einsetzen oder mit anderen Kreisgleichungen vergleichen willst.
Warum kann ein sehr großer Radius entstehen?
Ein sehr großer Radius entsteht oft, wenn die drei Punkte fast auf einer Linie liegen. Dann schneiden sich die Mittelsenkrechten sehr weit außerhalb des Punktdreiecks. Die Rechnung ist korrekt, aber kleine Änderungen an einem Punkt können das Ergebnis stark verschieben.
Ist die Reihenfolge der drei Punkte wichtig?
Die Reihenfolge ändert den Kreis nicht. Nur das Vorzeichen der Determinante kann wechseln, weil das Punktdreieck anders orientiert wird. Mittelpunkt, Radius, Umfang und Fläche bleiben bei denselben drei Punkten gleich.
Kann ich negative Koordinaten verwenden?
Ja. Negative x- und y-Koordinaten sind normale Punkte im Koordinatensystem. Der Rechner akzeptiert negative Werte und berechnet daraus denselben Umkreis wie bei positiven Koordinaten. Wichtig ist nur, dass die drei Punkte verschieden und nicht kollinear sind.
Wie viele Nachkommastellen sind sinnvoll?
Für Schul- und Übungsaufgaben reichen oft 2 bis 3 Nachkommastellen. Bei technischen Koordinaten oder fast kollinearen Punkten sind mehr Nachkommastellen sinnvoll, weil Mittelpunkt und Radius sonst sichtbar gerundet werden.