Komplexe-Zahlen-Rechner

Komplexe Zahlen sind eine Erweiterung der reellen Zahlen und bestehen aus einem reellen und einem imaginären Teil (a + bi). Sie lösen Probleme, die mit reellen Zahlen nicht lösbar sind, wie √(-1). In der Technik werden sie für Wechselstromrechnung, Signalverarbeitung und Schwingungsanalyse verwendet. In der Mathematik ermöglichen sie die Lösung aller algebraischen Gleichungen und sind grundlegend für die Quantenmechanik.

Addition/Subtraktion: Reelle und imaginäre Teile getrennt addieren/subtrahieren. Multiplikation: (a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i. Division: Mit dem konjugiert komplexen Nenner erweitern. Die imaginäre Einheit i folgt der Regel i² = -1, i³ = -i, i⁴ = 1. Unser Rechner führt alle diese Operationen automatisch durch und zeigt sowohl kartesische als auch polare Darstellung.

Statt a + bi wird die Zahl durch Betrag r und Winkel φ dargestellt: r∠φ oder r·e^(iφ). Der Betrag ist r = √(a² + b²), der Winkel φ = arctan(b/a). Diese Form vereinfacht Multiplikation (Beträge multiplizieren, Winkel addieren) und Potenzierung. Sie ist besonders nützlich in der Elektrotechnik für Wechselstromberechnungen und in der Signalverarbeitung.

Von kartesisch (a + bi) zu polar: Betrag r = √(a² + b²), Winkel φ = arctan(b/a). Von polar (r∠φ) zu kartesisch: a = r·cos(φ), b = r·sin(φ). Achten Sie auf den richtigen Quadranten beim Winkel! Unser Rechner macht diese Umwandlungen automatisch und berücksichtigt alle mathematischen Besonderheiten korrekt.

Das konjugiert Komplexe von a + bi ist a - bi (Vorzeichen des imaginären Teils umkehren). Es wird für Division verwendet: (a+bi)/(c+di) = (a+bi)(c-di)/[(c+di)(c-di)]. Das Produkt einer komplexen Zahl mit ihrer konjugierten ist immer reell: (a+bi)(a-bi) = a² + b². In der Physik entspricht es oft der zeitlichen Umkehr oder Spiegelung.

Elektrotechnik: Wechselstromanalyse, Impedanz-Berechnungen. Signalverarbeitung: Fourier-Transformation, Filter-Design. Quantenmechanik: Wellenfunktionen. Regelungstechnik: Stabilitätsanalyse. Computergrafik: Rotationen und Transformationen. Wirtschaft: Risiko-Modellierung. Überall wo Schwingungen, Rotationen oder Wellenphänomene auftreten, sind komplexe Zahlen das natürliche Werkzeug.

Die Euler'sche Formel e^(iφ) = cos(φ) + i·sin(φ) verbindet Exponentialfunktion, trigonometrische Funktionen und komplexe Zahlen. Die berühmte Identität e^(iπ) + 1 = 0 vereint die fünf wichtigsten Konstanten der Mathematik (e, i, π, 1, 0). In der Praxis ermöglicht sie: einfache Darstellung von Schwingungen, effiziente Berechnung von Rotationen, elegante Herleitung trigonometrischer Identitäten. Sie ist die Grundlage der Fourier-Analysis und damit zentral für Signalverarbeitung, Bildkompression und Wellenphysik.

Potenzierung: Am einfachsten in Polarform: (r∠φ)^n = r^n ∠ (n·φ). Beispiel: (2∠30°)³ = 8∠90°. Wurzelziehen: Die n-te Wurzel hat n verschiedene Lösungen: ⁿ√(r∠φ) = ⁿ√r ∠ ((φ + k·360°)/n) für k = 0,1,...,n-1. Beispiel: √(4∠60°) hat zwei Lösungen: 2∠30° und 2∠210°. Diese Mehrdeutigkeit der Wurzel ist eine Besonderheit komplexer Zahlen und führt zur Riemannschen Fläche in der fortgeschrittenen Mathematik.

Die Berechnungen basieren auf aktuellen mathematischen Formeln und Standards. Die Genauigkeit hängt von der Qualität der eingegebenen Daten ab. Für rechtlich bindende Berechnungen sollten Sie einen Fachexperten konsultieren.

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