z = (x - μ) / σ | Z-Wert standardisiert auf μ=0, σ=1
Standardabweichung interpretieren
Bedeutung der Standardabweichung bei Normalverteilung
Bereich
Anteil der Daten
Bedeutung
μ ± 1σ
68,27 %
Etwa 2/3 aller Werte
μ ± 2σ
95,45 %
Fast alle Werte
μ ± 3σ
99,73 %
Nahezu alle Werte
μ ± 4σ
99,99 %
Praktisch alle Werte
μ = Mittelwert, σ = Standardabweichung. Gilt für Normalverteilung.
Häufig gestellte Fragen zum Intervall-Rechner
Was ist ein Konfidenzintervall?
Ein Konfidenzintervall gibt einen Bereich an, in dem der wahre Populationsparameter mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit liegt. Ein 95 %-Konfidenzintervall bedeutet: Bei wiederholter Stichprobenziehung würden 95 % der berechneten Intervalle den wahren Wert enthalten.
Was bedeutet das Konfidenzniveau?
Das Konfidenzniveau (z. B. 95 %) beschreibt die langfristige Trefferquote der Intervallmethode. Ein höheres Konfidenzniveau führt zu einem breiteren Intervall. Übliche Niveaus sind 90 %, 95 % und 99 %. In vielen Auswertungen ist 95 % der Standard.
Wie beeinflusst die Stichprobengröße das Intervall?
Größere Stichproben führen zu schmaleren Intervallen, da der Standardfehler mit 1/sqrt(n) abnimmt. Verdopplung der Stichprobengröße halbiert die Breite nicht, sondern reduziert sie um den Faktor 1/sqrt(2) ≈ 0,71. Für eine Halbierung der Breite braucht man die vierfache Stichprobengröße.
Was ist der Standardfehler?
Der Standardfehler SE = s/sqrt(n) misst die Genauigkeit des Stichprobenmittelwerts als Schätzung des Populationsmittelwerts. Er ist die Standardabweichung der Stichprobenverteilung des Mittelwerts. Kleinerer Standardfehler = genauere Schätzung.
Wann sollte ich den t-Test statt des z-Tests verwenden?
Den z-Test bei bekannter Populationsvarianz oder großen Stichproben (n > 30). Den t-Test bei unbekannter Varianz und kleinen Stichproben. Bei n > 30 nähert sich die t-Verteilung der Normalverteilung an, sodass z- und t-Werte nahezu identisch sind.
Kann ein Konfidenzintervall falsch sein?
Ja, ein 95 %-Konfidenzintervall enthält den wahren Wert in 5 % der Fälle nicht. Das Intervall bezieht sich auf die Methode, nicht auf das einzelne Ergebnis. Systematische Fehler (Bias) werden durch Konfidenzintervalle nicht erfasst.
Was ist der Unterschied zwischen Fehler erster und zweiter Art?
Fehler 1. Art (alpha): Wahre Nullhypothese wird abgelehnt (falsch positiv). Fehler 2. Art (beta): Falsche Nullhypothese wird beibehalten (falsch negativ). Das Konfidenzniveau (1-alpha) kontrolliert den Fehler erster Art.
Welche Eingaben brauche ich für ein Konfidenzintervall?
Du brauchst den Stichprobenwert, die Stichprobengröße, eine Streuung oder einen Standardfehler und das gewünschte Konfidenzniveau. Wichtig ist, dass Mittelwert, Standardabweichung und Ergebnis dieselbe Einheit haben. Bei Anteilen müssen Prozentwerte und Dezimalwerte sauber unterschieden werden.
Warum wird ein Konfidenzintervall breiter oder schmaler?
Das Intervall wird breiter, wenn die Streuung steigt oder ein höheres Konfidenzniveau gewählt wird. Es wird schmaler, wenn die Stichprobe größer ist oder die Messwerte weniger streuen. Ein schmales Intervall ist nur dann aussagekräftig, wenn die Stichprobe sauber erhoben wurde.
Was ist der Unterschied zwischen Konfidenzintervall und Prognoseintervall?
Ein Konfidenzintervall schätzt einen Mittelwert, Anteil oder anderen Parameter der Grundgesamtheit. Ein Prognoseintervall beschreibt den Bereich für einen einzelnen zukünftigen Wert. Prognoseintervalle sind deshalb meist deutlich breiter als Konfidenzintervalle.