Dividiere Polynome bis Grad 5 durch x minus r mit dem Horner-Schema. Inklusive Quotient, Rest und Faktorprüfung mit zusätzlicher P(r)-Probe zur Kontrolle.
Polynom, Divisor und Rundung
Dividiere ein Polynom bis Grad 5 durch einen linearen Divisor x - r und prüfe den Rest mit P(r).
Quotient, Rest und Horner-Schema
Mit Faktorprüfung, Probe und Rechenschritten
Gib Polynom und Divisor ein und starte die Berechnung.
Wie funktioniert Polynomdivision mit dem Horner-Schema?
ƒDivision durch einen Linearfaktor
P(x)=(x−r)⋅Q(x)+P(r)
Variablen
P(x)
Polynom-Das eingegebene Polynom mit Koeffizienten von höchstem Grad bis zur Konstante.
r
Divisorwurzel-Die Zahl aus dem Divisor x - r. Bei x + 2 ist r also -2.
Q(x)
Quotient-Das Polynom, das nach der Division übrig bleibt.
P(r)
Rest-Der letzte Horner-Wert. Er zeigt, ob x - r ein Faktor ist.
Horner-Schema richtig lesen
Die Werte im Horner-Schema sind keine Zwischenergebnisse ohne Bedeutung. Sie bilden direkt den Quotienten und den Rest.
Teil des Schemas
Bedeutung
Kontrolle
Erster Wert
Der führende Koeffizient wird unverändert übernommen.
Er ist zugleich der führende Koeffizient des Quotienten.
Mittlere Summen
Diese Werte werden zu den weiteren Koeffizienten des Quotienten.
Der Quotient hat immer einen Grad weniger als P(x).
Letzter Wert
Das ist der Rest der Division.
Er muss mit P(r) übereinstimmen.
Rest 0
Der Divisor geht ohne Rest auf.
Dann ist x - r ein Faktor und r eine Nullstelle.
Typische Polynomdivisionen
Die Beispiele zeigen, wann der Rest 0 wird und wann die Division nur mit Restterm aufgeht.
Polynom P(x)
Divisor
Quotient
Rest
x³ - 6x² + 11x - 6
x - 1
x² - 5x + 6
0
x² - 5x + 6
x - 2
x - 3
0
2x³ - 3x² + 5
x - 2
2x² + x + 2
9
x⁴ - 1
x - 1
x³ + x² + x + 1
0
Bei Aufgaben mit Rest gilt P(x) = (x - r) · Q(x) + Rest. Der Restterm darf nicht verschwinden.
Häufige Fehler bei der Polynomdivision
Die meisten Fehler entstehen durch Vorzeichen oder fehlende Koeffizienten. Beides sieht man im Horner-Schema sofort.
Fehler
Was schiefgeht
So prüfst du es
x + 2 als r = 2 eintragen
Das Vorzeichen dreht sich um und der ganze Quotient wird falsch.
x + 2 entspricht x - (-2), also r = -2.
Fehlende Terme überspringen
Bei x³ + 1 fehlt x² und x. Ohne Nullen verschieben sich alle Koeffizienten.
Trage fehlende Koeffizienten immer als 0 ein.
Rest ignorieren
Dann wird aus einer Division mit Rest fälschlich eine Faktorzerlegung.
Nur bei Rest 0 ist der Divisor ein echter Faktor.
Quotient mit falschem Grad lesen
Der erste Horner-Wert gehört zum höchsten Quotiententerm, nicht zum ursprünglichen Grad.
Nach Division durch x - r sinkt der Grad genau um 1.
Häufig gestellte Fragen zum Polynomdivision-Rechner
Was berechnet der Polynomdivision-Rechner?
Der Rechner dividiert ein Polynom bis Grad 5 durch einen linearen Divisor der Form x - r. Er zeigt den Quotienten, den Rest, das Horner-Schema und die Probe P(r). So siehst du nicht nur das Ergebnis, sondern auch, ob der Divisor wirklich ein Faktor des Polynoms ist.
Warum nutzt der Rechner das Horner-Schema?
Für Divisionen durch x - r ist das Horner-Schema kürzer und übersichtlicher als die schriftliche Polynomdivision. Die Koeffizienten werden der Reihe nach verarbeitet, der Quotient entsteht direkt und der letzte Wert ist der Rest. Das macht Vorzeichenfehler leichter erkennbar.
Was bedeutet r im Divisor x - r?
r ist die Zahl, die im Divisor von x abgezogen wird. Bei x - 3 ist r gleich 3. Bei x + 3 ist r dagegen -3, weil x + 3 dasselbe ist wie x - (-3). Genau dieses Vorzeichen entscheidet, welche Werte im Horner-Schema multipliziert werden.
Wann ist x - r ein Faktor des Polynoms?
x - r ist genau dann ein Faktor, wenn der Rest der Division 0 ist. Nach dem Restsatz ist dieser Rest identisch mit P(r). Wenn der Rechner also P(r) = 0 zeigt, ist r eine Nullstelle und das Polynom lässt sich als (x - r) · Q(x) schreiben.
Was mache ich, wenn der Rest nicht 0 ist?
Dann geht die Division nicht glatt auf. Der Quotient ist trotzdem korrekt, aber die vollständige Darstellung enthält zusätzlich den Rest. Du darfst den Rest nicht weglassen, sonst veränderst du das Polynom. Für eine Faktorzerlegung brauchst du einen Divisor, bei dem P(r) wirklich 0 wird.
Warum müssen fehlende Terme als 0 eingetragen werden?
Die Koeffizienten müssen in der richtigen Reihenfolge stehen. Wenn bei x³ + 5x - 2 der x²-Term fehlt, gehört an diese Stelle eine 0. Lässt du sie weg, wird aus dem Koeffizienten von x plötzlich der Koeffizient von x², und alle weiteren Schritte werden falsch.
Kann ich damit Nullstellen prüfen?
Ja, für Kandidaten wie r = 1, r = -2 oder r = 3 ist der Rechner ein schneller Nullstellencheck. Du setzt den Kandidaten als r ein und schaust auf den Rest. Ist der Rest 0, hast du eine Nullstelle gefunden und kannst mit dem Quotienten weiterarbeiten.
Was ist der Unterschied zur schriftlichen Polynomdivision?
Die schriftliche Polynomdivision arbeitet mit ganzen Termen und sieht der schriftlichen Division von Zahlen ähnlich. Das Horner-Schema arbeitet nur mit Koeffizienten. Für Divisoren der Form x - r führen beide Wege zum selben Ergebnis, das Horner-Schema ist aber kompakter.
Warum ist der Rechner auf x - r beschränkt?
Das Horner-Schema in dieser Form gilt für lineare Divisoren mit führendem Koeffizienten 1. Für Divisoren wie 2x - 4 oder x² + 1 brauchst du eine allgemeinere Polynomdivision. 2x - 4 kannst du erst zu 2 · (x - 2) umformen und den Faktor 2 getrennt beachten.
Wie prüfe ich das Ergebnis von Hand?
Multipliziere den angezeigten Quotienten Q(x) mit dem Divisor x - r und addiere den Rest. Wenn daraus wieder das ursprüngliche Polynom entsteht, stimmt die Division. Bei Rest 0 reicht zusätzlich die Probe, dass P(r) ebenfalls 0 ergibt.