Wachstumsrate-Als Dezimalzahl (z. B. 0,05 für 5 %)
t
Zeitraum-Anzahl der Perioden
Logarithmusgesetze
Regeln für das Rechnen mit Logarithmen
Regel
Formel
Beispiel
Produktregel
log(a·b) = log(a) + log(b)
log(6) = log(2) + log(3)
Quotientenregel
log(a/b) = log(a) - log(b)
log(5) = log(10) - log(2)
Potenzregel
log(aⁿ) = n · log(a)
log(8) = 3·log(2)
Basiswechsel
logₐ(x) = log(x)/log(a)
log₂(8) = log(8)/log(2) = 3
Definition
logₐ(x) = n ⟺ aⁿ = x
log₂(8) = 3 ⟺ 2³ = 8
ln = natürlicher Logarithmus (Basis e ≈ 2,718), lg = Zehnerlogarithmus (Basis 10)
Häufig gestellte Fragen zum Exponentielles-Wachstum-Rechner
Was ist exponentielles Wachstum?
Exponentielles Wachstum liegt vor, wenn eine Größe in gleichen Zeitabschnitten um den gleichen Faktor (nicht um den gleichen Betrag) zunimmt. Die Formel lautet N(t) = N0 · (1+r)^t, wobei N0 der Anfangswert, r die Wachstumsrate und t die Zeit ist. Beispiele: Bevölkerungswachstum, Zinseszins, Virusausbreitung.
Was ist die Verdopplungszeit?
Die Verdopplungszeit gibt an, nach wie vielen Perioden sich ein Wert verdoppelt. Sie wird berechnet als t_d = ln(2) / ln(1+r). Bei kleinen Wachstumsraten kann die 72er-Regel als Faustregel verwendet werden: Verdopplungszeit ≈ 72 / r (in Prozent). Beispiel: Bei 6 % Wachstum verdoppelt sich der Wert in ca. 12 Perioden.
Was ist der Unterschied zwischen Wachstum und Zerfall?
Bei exponentiellem Wachstum ist die Rate positiv (r > 0), der Wert nimmt zu. Bei exponentiellem Zerfall ist die Rate negativ (r < 0), der Wert nimmt ab. Beim Zerfall spricht man von Halbwertszeit statt Verdopplungszeit. Beispiel für Zerfall: radioaktiver Zerfall, Medikamentenabbau, Abkühlung.
Was ist der Wachstumsfaktor?
Der Wachstumsfaktor q = 1 + r gibt den Faktor an, um den sich der Wert pro Periode multipliziert. Bei q > 1 liegt Wachstum vor, bei q < 1 Zerfall. Beispiel: q = 1,05 bedeutet 5 % Wachstum pro Periode, q = 0,9 bedeutet 10 % Abnahme pro Periode.
Wie berechne ich die Wachstumsrate aus zwei Werten?
Wenn Anfangswert N0, Endwert N(t) und Zeitraum t bekannt sind, lässt sich die Rate berechnen: r = (N(t)/N0)^(1/t) - 1. Beispiel: Von 1.000 auf 1.500 in 5 Jahren: r = (1500/1000)^(1/5) - 1 ≈ 0,0845 = 8,45 % pro Jahr.
Gibt es Grenzen für exponentielles Wachstum?
In der Realität ist unbegrenztes exponentielles Wachstum nicht möglich. Ressourcenknappheit, Sättigung und andere Faktoren begrenzen das Wachstum. Realistischere Modelle sind logistisches Wachstum (S-Kurve) oder begrenztes Wachstum. Exponentielles Wachstum ist meist nur für begrenzte Zeiträume gültig.
Was ist kontinuierliches exponentielles Wachstum?
Bei kontinuierlichem Wachstum wird die Formel N(t) = N0 · e^(k·t) verwendet, wobei k die kontinuierliche Wachstumsrate ist. Die Umrechnung zwischen diskreter Rate r und kontinuierlicher Rate k ist: k = ln(1+r). Kontinuierliches Wachstum wird in der Biologie, Physik und Finanzmathematik verwendet.
Wie genau sind die Berechnungen?
Die Berechnungen basieren auf aktuellen mathematischen Formeln und Standards. Die Genauigkeit hängt von der Qualität der eingegebenen Daten ab. Für rechtlich bindende Berechnungen solltest du einen Fachexperten konsultieren.
Was passiert mit meinen eingegebenen Daten?
Alle Berechnungen erfolgen lokal in deinem Browser. Es werden keine persönlichen Daten an unsere Server übertragen oder gespeichert. Deine Privatsphäre ist vollständig geschützt.
Kann ich den Rechner auf dem Smartphone nutzen?
Ja, der Rechner ist vollständig responsiv gestaltet und funktioniert auf allen Geräten - Desktop, Tablet und Smartphone. Die Bedienung wurde für Touchscreens optimiert.