Wachstumsrate-Als Dezimalzahl (z. B. 0,05 für 5 %)
t
Zeitraum-Anzahl der Perioden
Logarithmusgesetze
Regeln für das Rechnen mit Logarithmen
Regel
Formel
Beispiel
Produktregel
log(a·b) = log(a) + log(b)
log(6) = log(2) + log(3)
Quotientenregel
log(a/b) = log(a) - log(b)
log(5) = log(10) - log(2)
Potenzregel
log(aⁿ) = n · log(a)
log(8) = 3·log(2)
Basiswechsel
logₐ(x) = log(x)/log(a)
log₂(8) = log(8)/log(2) = 3
Definition
logₐ(x) = n ⟺ aⁿ = x
log₂(8) = 3 ⟺ 2³ = 8
ln = natürlicher Logarithmus (Basis e ≈ 2,718), lg = Zehnerlogarithmus (Basis 10)
Häufig gestellte Fragen zum Exponentielles-Wachstum-Rechner
Was ist exponentielles Wachstum?
Exponentielles Wachstum liegt vor, wenn eine Größe in gleichen Zeitabschnitten um den gleichen Faktor (nicht um den gleichen Betrag) zunimmt. Die Formel lautet N(t) = N0 · (1+r)^t, wobei N0 der Anfangswert, r die Wachstumsrate und t die Zeit ist. Beispiele: Bevölkerungswachstum, Zinseszins, Virusausbreitung.
Was ist die Verdopplungszeit?
Die Verdopplungszeit gibt an, nach wie vielen Perioden sich ein Wert verdoppelt. Die Formel lautet t_d = ln(2) / ln(1+r). Bei kleinen Wachstumsraten kann die 72er-Regel als Faustregel verwendet werden. Verdopplungszeit etwa 72 / r, wenn r als Prozentwert eingesetzt wird. Bei 6 % Wachstum verdoppelt sich der Wert nach ungefähr 12 Perioden.
Was ist der Unterschied zwischen Wachstum und Zerfall?
Bei exponentiellem Wachstum ist die Rate positiv (r > 0), der Wert nimmt zu. Bei exponentiellem Zerfall ist die Rate negativ (r < 0), der Wert nimmt ab. Beim Zerfall spricht man von Halbwertszeit statt Verdopplungszeit. Beispiel für Zerfall: radioaktiver Zerfall, Medikamentenabbau, Abkühlung.
Was ist der Wachstumsfaktor?
Der Wachstumsfaktor q = 1 + r gibt den Faktor an, um den sich der Wert pro Periode multipliziert. Bei q > 1 liegt Wachstum vor, bei q < 1 Zerfall. Beispiel: q = 1,05 bedeutet 5 % Wachstum pro Periode, q = 0,9 bedeutet 10 % Abnahme pro Periode.
Wie berechne ich die Wachstumsrate aus zwei Werten?
Wenn Anfangswert N0, Endwert N(t) und Zeitraum t bekannt sind, lässt sich die Rate berechnen: r = (N(t)/N0)^(1/t) - 1. Beispiel: Von 1.000 auf 1.500 in 5 Jahren: r = (1500/1000)^(1/5) - 1 ≈ 0,0845 = 8,45 % pro Jahr.
Gibt es Grenzen für exponentielles Wachstum?
In der Realität ist unbegrenztes exponentielles Wachstum nicht möglich. Ressourcenknappheit, Sättigung und andere Faktoren begrenzen das Wachstum. Realistischere Modelle sind logistisches Wachstum (S-Kurve) oder begrenztes Wachstum. Exponentielles Wachstum ist meist nur für begrenzte Zeiträume gültig.
Was ist kontinuierliches exponentielles Wachstum?
Bei kontinuierlichem Wachstum wird die Formel N(t) = N0 · e^(k·t) verwendet, wobei k die kontinuierliche Wachstumsrate ist. Die Umrechnung zwischen diskreter Rate r und kontinuierlicher Rate k ist: k = ln(1+r). Kontinuierliches Wachstum wird in der Biologie, Physik und Finanzmathematik verwendet.
Welche Wachstumsrate muss ich im Rechner eingeben?
Die Rate muss zur gewählten Periode passen. Eine Monatsrate darf nicht direkt als Jahresrate verwendet werden. Wenn ein Wert pro Jahr um 12 % wächst, ist die passende Monatsrate nicht einfach 1 %, sondern ergibt sich aus dem passenden Monatsfaktor. Entscheidend ist, dass Rate und Zeitraum dieselbe Periodenlogik nutzen.
Was bedeutet „pro Periode“ bei exponentiellem Wachstum?
Eine Periode ist der gleich lange Rechenschritt des Modells, zum Beispiel ein Tag, ein Monat oder ein Jahr. Bei jeder Periode wird der aktuelle Wert mit demselben Faktor multipliziert. Deshalb wächst nicht nur der Anfangswert, sondern auch der bereits entstandene Zuwachs weiter mit.
Warum sind Prozentpunkte und Prozent beim Wachstum nicht dasselbe?
Ein Anstieg von 5 % auf 8 % sind 3 Prozentpunkte. Relativ zur ursprünglichen Rate ist das aber ein Anstieg um 60 %. Für exponentielle Modelle muss klar sein, ob die Wachstumsrate selbst geändert wird oder ob ein Bestand mit einer bestimmten Prozentrate wächst.