Eigenwerte Rechner

Berechnen Sie Eigenwerte von 2x2 und 3x3 Matrizen mit charakteristischen Polynomen und Verifikation.

Eigenwerte berechnen

Geben Sie die Matrixelemente ein (Dezimalzahlen sind erlaubt)

Beispielmatrizen

2x2 Matrix Eigenschaften

  • • Charakteristisches Polynom: λ² - tr(A)λ + det(A)
  • • Diskriminante: Δ = tr² - 4det
  • • Δ > 0: Zwei verschiedene reelle Eigenwerte
  • • Δ = 0: Ein doppelter reeller Eigenwert
  • • Δ < 0: Konjugiert komplexe Eigenwerte
  • • Diagonalisierbar wenn geometrische = algebraische Vielfachheit

Anwendungen

  • • PCA: Hauptkomponentenanalyse in Statistik
  • • Physik: Schwingungsanalyse und Normalformen
  • • Graphik: 3D-Transformationen und Rotation
  • • Stabilität: Dynamische Systeme und Regelung
  • • Quantenmechanik: Observablen und Messungen
  • • PageRank: Google-Algorithmus und Netzwerke

💡 Hinweise zur Numerik:

Für 3x3 und größere Matrizen ist die exakte Eigenwerteberechnung komplex und erfordert numerische Methoden wie den QR-Algorithmus. Dieser Rechner zeigt vereinfachte Berechnungen für Lernzwecke. Für präzise Ergebnisse bei großen Matrizen verwenden Sie spezialisierte Software wie MATLAB, Python (NumPy), R oder Mathematica.

Matrix-Grundlagen

Wichtige Begriffe

  • Determinante: det(A) = ad - bc (2x2)
  • Spur: tr(A) = a + d (2x2)
  • Charakteristisches Polynom: det(A - λI)
  • Eigenraum: Kern(A - λI)

2x2 Matrix Formeln

  • λ₁,₂ = (tr ± √(tr² - 4det))/2
  • Diskriminante: Δ = tr² - 4det
  • Δ > 0: Zwei reelle Eigenwerte
  • Δ = 0: Ein doppelter Eigenwert
  • Δ < 0: Komplexe Eigenwerte

Tipp: Die Summe der Eigenwerte entspricht der Spur, das Produkt der Determinante.

Häufig gestellte Fragen