Berechne Eigenwerte und Eigenvektoren einer reellen 2×2-Matrix Schritt für Schritt. Inklusive Eigenraum, Residuum und Prüfung der Diagonalisierbarkeit.
2×2-Matrix und Vektordarstellung
Berechne reale Eigenwerte, Eigenvektoren, Eigenraum und Diagonalisierbarkeit einer 2×2-Matrix.
Eigenwerte, Eigenvektoren und Eigenraum
Mit Spur, Determinante, Residuum und Diagonalisierbarkeit
Eigenwert-Der Faktor, um den der Eigenvektor gestreckt oder gespiegelt wird.
v
Eigenvektor-Ein Vektor ungleich dem Nullvektor, dessen Richtung durch A erhalten bleibt.
Typische 2×2-Matrizen und ihre Eigenvektoren
Die Form der Matrix entscheidet oft schon, was du bei Eigenwerten und Eigenvektoren erwarten kannst.
Matrixtyp
Beispiel
Was passiert?
Diagonalmatrix
[[2, 0], [0, 5]]
Die Koordinatenachsen sind Eigenrichtungen. Die Diagonalwerte sind die Eigenwerte.
Symmetrische Matrix
[[3, 1], [1, 3]]
Bei zwei verschiedenen Eigenwerten stehen die Eigenrichtungen senkrecht aufeinander.
Jordan-Block
[[2, 1], [0, 2]]
Der Eigenwert ist doppelt, aber es gibt nur eine unabhängige Eigenrichtung.
Rotation
[[0, -1], [1, 0]]
Über den reellen Zahlen gibt es keine Eigenvektoren, weil kein reeller Vektor seine Richtung behält.
So liest du das Ergebnis
Eigenwerte, Eigenvektoren und das Residuum beantworten unterschiedliche Fragen.
Ausgabe
Bedeutung
Kontrolle
Eigenwert λ
Faktor, mit dem die Matrix den Eigenvektor streckt, staucht oder spiegelt.
Setze λ in (A - λI)v = 0 ein.
Eigenvektor v
Richtung, die durch die Matrix nicht gedreht wird.
Prüfe Av und λv. Beide Vektoren müssen übereinstimmen.
Eigenraum
Alle Vielfachen einer Eigenrichtung, bei Skalarmatrizen sogar die ganze Ebene.
Ein eindimensionaler Eigenraum liefert eine Basisrichtung.
Residuum
Numerischer Restfehler der Prüfung Av - λv.
Nahe 0 bedeutet, dass Vektor und Eigenwert zusammenpassen.
Häufige Fehler bei Eigenvektoren
Viele Rechenfehler entstehen nicht beim Polynom, sondern bei der Interpretation des Eigenraums.
Fehler
Warum problematisch?
Besser prüfen
Nullvektor als Eigenvektor
Der Nullvektor erfüllt zwar formal Av = λv, ist aber per Definition kein Eigenvektor.
Wähle eine Basisrichtung im Lösungsraum.
Eigenvektor als eindeutig ansehen
Jedes von 0 verschiedene Vielfache desselben Vektors beschreibt dieselbe Eigenrichtung.
Vergleiche Richtungen, nicht nur einzelne Zahlenpaare.
Doppelten Eigenwert mit zwei Eigenvektoren verwechseln
Ein doppelter Eigenwert kann nur eine unabhängige Eigenrichtung haben.
Prüfe die Dimension des Eigenraums.
Komplexe Eigenwerte ignorieren
Bei negativer Diskriminante existieren über den reellen Zahlen keine Eigenvektoren.
Entscheide zuerst, ob du reell oder komplex rechnest.
Häufig gestellte Fragen zum Eigenvektoren-Rechner
Was berechnet der Eigenvektoren-Rechner?
Der Rechner nimmt eine reelle 2×2-Matrix und berechnet die Eigenwerte, passende Eigenvektoren, die Dimension des Eigenraums und eine Einschätzung zur Diagonalisierbarkeit. Zusätzlich zeigt er mit dem Residuum, ob Av und λv numerisch zusammenpassen.
Warum ist der Rechner auf 2×2-Matrizen begrenzt?
Für 2×2-Matrizen lässt sich der komplette Rechenweg transparent darstellen. Das charakteristische Polynom ist quadratisch, die Eigenwerte sind gut prüfbar und die Eigenvektoren lassen sich ohne versteckte numerische Verfahren erklären. Für 3×3-Matrizen wird die Rechnung deutlich fehleranfälliger.
Was ist ein Eigenvektor in einfachen Worten?
Ein Eigenvektor ist eine Richtung, die durch die Matrix nicht gedreht wird. Die Matrix darf den Vektor länger, kürzer oder entgegengesetzt machen, aber seine Richtung bleibt dieselbe. Der zugehörige Eigenwert sagt, mit welchem Faktor das passiert.
Warum darf ein Eigenvektor anders skaliert sein?
Wenn v ein Eigenvektor ist, dann ist auch jedes von 0 verschiedene Vielfache von v ein Eigenvektor. Deshalb können zwei Lösungen unterschiedlich aussehen und trotzdem dieselbe Eigenrichtung beschreiben. Die normalisierte Darstellung macht diese Richtungen leichter vergleichbar.
Was bedeutet das Residuum im Ergebnis?
Das Residuum ist die Länge des Restfehlers von Av - λv. Bei einer exakten Rechnung wäre dieser Wert 0. Im Rechner entstehen durch Dezimalzahlen und Rundung winzige Abweichungen. Ein sehr kleines Residuum ist deshalb ein guter Plausibilitätscheck.
Was passiert bei komplexen Eigenwerten?
Hat die 2×2-Matrix eine negative Diskriminante, entstehen komplex konjugierte Eigenwerte. Dann gibt es über den reellen Zahlen keine Eigenvektoren. Der Rechner zeigt die komplexen Eigenwerte an, bleibt bei den Eigenvektoren aber bewusst im reellen Zahlenraum.
Wann ist eine 2×2-Matrix diagonalisierbar?
Eine 2×2-Matrix mit zwei verschiedenen reellen Eigenwerten ist über den reellen Zahlen diagonalisierbar. Bei einem doppelten Eigenwert musst du genauer prüfen. Eine Skalarmatrix hat einen zweidimensionalen Eigenraum, ein Jordan-Block dagegen nur eine Eigenrichtung.
Was ist der Unterschied zwischen Eigenwert und Eigenvektor?
Der Eigenvektor ist die Richtung, die erhalten bleibt. Der Eigenwert ist der Streckungsfaktor in genau dieser Richtung. Beide gehören zusammen. Ein Eigenwert ohne passenden Eigenvektor beschreibt noch keine konkrete Richtung im Raum.
Warum kann ein doppelter Eigenwert problematisch sein?
Ein doppelter Eigenwert steht zweimal im charakteristischen Polynom. Das heißt aber nicht automatisch, dass auch zwei unabhängige Eigenvektoren existieren. Entscheidend ist der Lösungsraum von (A - λI)v = 0. Ist er nur eindimensional, fehlt eine Richtung.
Wie prüfe ich ein Ergebnis aus dem Rechner von Hand?
Nimm einen angezeigten Eigenwert λ und den Eigenvektor v. Multipliziere zuerst A mit v und danach λ mit v. Wenn beide Ergebnisse gleich sind oder nur durch Rundung minimal abweichen, passen Eigenwert und Eigenvektor zusammen.