Determinanten-Rechner

Für eine 2×2-Matrix A = [[a,b],[c,d]] ist die Determinante det(A) = ad - bc. Man multipliziert die Elemente der Hauptdiagonale (a×d) und subtrahiert das Produkt der Nebendiagonale (b×c). Beispiel: Für [[1,2],[3,4]] ergibt sich det(A) = 1×4 - 2×3 = -2.

Die Regel von Sarrus ist ein praktisches Verfahren zur Berechnung der Determinante einer 3×3-Matrix. Man erweitert die Matrix um die ersten beiden Spalten rechts davon und bildet die Summe der Produkte der Hauptdiagonalen minus die Summe der Produkte der Nebendiagonalen. Diese Regel funktioniert nur bei 3×3-Matrizen und nicht bei größeren Matrizen.

Eine quadratische Matrix ist genau dann invertierbar (regulär), wenn ihre Determinante ungleich null ist. Ist det(A) = 0, so ist die Matrix singulär und besitzt keine Inverse. Dies bedeutet auch, dass die Spalten- bzw. Zeilenvektoren linear abhängig sind und ein homogenes Gleichungssystem Ax = 0 nichttriviale Lösungen besitzt.

Bei der Cofaktor-Entwicklung (Laplacescher Entwicklungssatz) wählt man eine Zeile oder Spalte aus und entwickelt die Determinante nach dieser. Jedes Element wird mit seinem Cofaktor multipliziert - das ist die Determinante der entsprechenden Untermatrix, multipliziert mit (-1)^(i+j). Diese Methode reduziert eine n×n-Determinante auf n Determinanten der Größe (n-1)×(n-1).

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