Löse lineare Gleichungssysteme mit dem Gauß-Algorithmus für 2×2 und 3×3. Inklusive Pivot-Schritten, Rang und Probe mit Erkennung typischer Sonderfälle.
Matrix, rechte Seite und Rundung
Löse ein lineares 2×2- oder 3×3-Gleichungssystem mit Gauß-Jordan-Schritten.
Lösung, Rang und Rechenweg
Reduzierte Matrix, Determinante, Probe und Gauß-Schritte
Gib die Matrixwerte ein, um das Gleichungssystem zu lösen.
Changelog
Änderungen am Rechner „Gauß-Algorithmus-Rechner“.
Rechner „Gauß-Algorithmus-Rechner“ hinzugefügt
• Der Rechner „Gauß-Algorithmus-Rechner“ wurde hinzugefügt.
Koeffizientenmatrix-Matrix mit den Faktoren vor x, y und optional z.
b
rechte Seite-Konstanten rechts neben dem Gleichheitszeichen.
R
reduzierte Zeilenstufenform-Matrixform, aus der Lösung, Widerspruch oder freie Variable sichtbar werden.
Lösungsfälle beim Gauß-Algorithmus
Rang und Determinante zeigen, ob das System eindeutig lösbar ist oder ob ein Sonderfall vorliegt.
Fall
Merkmal in der Matrix
Bedeutung
Eindeutige Lösung
Rang A entspricht der Variablenzahl. Bei quadratischen Systemen ist die Determinante ungleich 0.
Jede Variable hat genau einen Wert.
Keine Lösung
Die erweiterte Matrix hat einen höheren Rang als die Koeffizientenmatrix.
Mindestens eine Zeile widerspricht dem Rest des Systems.
Unendlich viele Lösungen
Beide Ränge sind gleich, aber kleiner als die Variablenzahl.
Mindestens eine Variable bleibt frei wählbar.
Der Rechner nutzt die reduzierte Zeilenstufenform. Dadurch werden auch Sonderfälle sichtbar, bei denen eine reine Determinantenrechnung zu wenig erklärt.
Beispiele für 2×2- und 3×3-Systeme
Die Beispiele zeigen typische Eingaben und wie die Auswertung über Rang, Determinante und Lösung aussieht.
System
Determinante
Rang
Ergebnis
2 Gleichungen, 2 Variablen
-3
2/2
x = 2, y = 1
3 Gleichungen, 3 Variablen
7
3/3
x = 1, y = 2, z = 3
Widersprüchliches 2×2-System
0
1/2
Keine Lösung
Abhängiges 2×2-System
0
1/1
Unendlich viele Lösungen
Bei Rangangaben steht der erste Wert für die Koeffizientenmatrix und der zweite Wert für die erweiterte Matrix.
Erlaubte Zeilenoperationen
Diese Umformungen ändern die Lösungsmenge nicht. Dadurch kommt die Matrix nur in eine lesbarere Form.
Operation
Zweck
Hinweis
Zeilen tauschen
Eine brauchbare Pivot-Zahl nach oben holen.
Der Rechner wählt den betragsmäßig größten Pivot in der Spalte.
Zeile durch Zahl teilen
Den Pivot auf 1 normieren.
Durch 0 wird nie geteilt. Ist kein Pivot vorhanden, wird die Spalte übersprungen.
Vielfaches einer Zeile abziehen
Die übrigen Einträge in der Pivot-Spalte auf 0 bringen.
So entsteht direkt die reduzierte Zeilenstufenform.
Für numerische Eingaben können sehr kleine Rundungsreste entstehen. Die Probe zeigt, ob diese Reste praktisch relevant sind.
Häufig gestellte Fragen zum Gauß-Algorithmus-Rechner
Was berechnet der Gauß-Algorithmus-Rechner?
Der Rechner löst lineare Gleichungssysteme mit zwei oder drei Variablen. Du gibst die erweiterte Matrix ein, also die Koeffizienten links und die rechte Seite rechts. Danach zeigt der Rechner die reduzierte Zeilenstufenform, die Lösung und die Prüfung über Rang und Probe.
Warum ist der Rang wichtiger als nur die Determinante?
Die Determinante reicht bei quadratischen Systemen für den Normalfall, aber sie erklärt Sonderfälle nicht sauber. Der Rangvergleich zeigt, ob das System widersprüchlich ist oder freie Variablen hat. Deshalb betrachtet der Rechner Rang A und den Rang der erweiterten Matrix getrennt.
Was bedeutet eine eindeutige Lösung?
Eine eindeutige Lösung bedeutet, dass jede Variable genau einen Wert hat. In der reduzierten Zeilenstufenform steht dann für jede Variable eine Pivot-Spalte. Bei einem 3×3-System sind x, y und z direkt ablesbar, sofern der Rang der Koeffizientenmatrix 3 ist.
Wann hat ein Gleichungssystem keine Lösung?
Keine Lösung liegt vor, wenn die Gleichungen einander widersprechen. In der Matrix sieht man das an einer Zeile, in der links nur Nullen stehen, rechts aber ein von 0 verschiedener Wert bleibt. Dann können die ursprünglichen Gleichungen nicht gleichzeitig wahr sein.
Wann entstehen unendlich viele Lösungen?
Unendlich viele Lösungen entstehen, wenn mindestens eine Gleichung von den anderen abhängig ist und keine widersprüchliche Zeile entsteht. Dann gibt es weniger unabhängige Gleichungen als Variablen. Der Rechner benennt die freien Variablen, statt daraus eine künstliche Einzellösung zu machen.
Was ist eine erweiterte Matrix?
Die erweiterte Matrix fasst das Gleichungssystem kompakt zusammen. Bei 2x + y = 5 und x - y = 1 stehen 2, 1 und 5 in der ersten Zeile sowie 1, -1 und 1 in der zweiten Zeile. Der senkrechte Strich trennt Koeffizienten und rechte Seite.
Warum zeigt der Rechner Zwischenschritte?
Die Zwischenschritte machen sichtbar, welche Zeilen getauscht, normiert oder voneinander abgezogen wurden. Das ist gerade bei Schulaufgaben und Kontrolle von Handrechnungen wichtig, weil ein richtiges Endergebnis allein einen Rechenfehler im Weg dorthin nicht erklärt.
Was sagt die Probe aus?
Die Probe setzt die berechneten Variablen wieder in die ursprünglichen Gleichungen ein. Wenn die Abweichung sehr klein ist, passt die Lösung zur Ausgangsmatrix. Kleine Werte nahe 0 sind bei Dezimalzahlen normal, weil der Rechner intern mit Gleitkommazahlen arbeitet.
Kann ich Brüche statt Dezimalzahlen eingeben?
Der Rechner ist auf Dezimalzahlen ausgelegt. Du kannst einfache Brüche vorher als Dezimalzahl eingeben, zum Beispiel 0,5 statt 1/2. Für exakte symbolische Bruchrechnung ist ein Computer-Algebra-System besser geeignet, weil dort Zähler und Nenner separat erhalten bleiben.
Warum werden nur 2×2 und 3×3 unterstützt?
Für diesen Rechner stehen nachvollziehbare Eingabe, Rechenweg und Tabellen im Vordergrund. 2×2 und 3×3 decken die meisten Schul- und Einstiegssituationen ab und bleiben im Browser gut lesbar. Größere Matrizen brauchen eine andere Oberfläche, damit Eingabe und Kontrolle nicht unübersichtlich werden.