Arithmetisches, geometrisches und harmonisches Mittel
Mittelwert-Art
Formel
Beispiel (2, 8)
Anwendung
Arithmetisches Mittel
(a + b) / 2
5
Durchschnitt, Noten
Geometrisches Mittel
√(a × b)
4
Wachstumsraten, Renditen
Harmonisches Mittel
2 / (1/a + 1/b)
3,2
Geschwindigkeiten
Quadratisches Mittel
√((a² + b²) / 2)
5,83
Effektivwerte (Elektrik)
Median
Mittlerer Wert
5
Robuster Lageparameter
Modus
Häufigster Wert
-
Kategoriale Daten
Es gilt immer: Harmonisch ≤ Geometrisch ≤ Arithmetisch ≤ Quadratisch
Standardabweichung interpretieren
Bedeutung der Standardabweichung bei Normalverteilung
Bereich
Anteil der Daten
Bedeutung
μ ± 1σ
68,27 %
Etwa 2/3 aller Werte
μ ± 2σ
95,45 %
Fast alle Werte
μ ± 3σ
99,73 %
Nahezu alle Werte
μ ± 4σ
99,99 %
Praktisch alle Werte
μ = Mittelwert, σ = Standardabweichung. Gilt für Normalverteilung.
Häufig gestellte Fragen zum Durchschnitt-Rechner
Was ist der arithmetische Mittelwert?
Der arithmetische Mittelwert ist der bekannteste Durchschnitt: Summe aller Werte geteilt durch die Anzahl. Formel: x̄ = (x₁ + x₂ + ... + xₙ) / n. Beispiel: (5 + 10 + 15) / 3 = 10. Ideal für gleichmäßig verteilte Daten ohne extreme Ausreißer.
Was ist der Median und wann verwende ich ihn?
Der Median ist der mittlere Wert einer sortierten Datenreihe. Bei gerader Anzahl ist es der Durchschnitt der beiden mittleren Werte. Vorteil: Der Median ist robust gegen Ausreißer. Bei 1, 2, 3, 4, 100 ist der Median 3, der Mittelwert aber 22.
Was ist der Modus?
Der Modus ist der häufigste Wert in einer Datenreihe. Bei 2, 3, 3, 4, 5 ist der Modus 3. Es können mehrere Modi existieren. Wenn alle Werte gleich oft vorkommen, gibt es keinen eindeutigen Modus.
Was ist der geometrische Mittelwert?
Der geometrische Mittelwert ist die n-te Wurzel des Produkts aller Werte. Formel: ⁿ√(x₁ × x₂ × ... × xₙ). Er passt für Wachstumsraten und Prozentwerte. Bei Renditen von +20 % und -10 % ergibt √(1,2 × 0,9) ungefähr 4 % durchschnittliches Wachstum pro Jahr.
Was ist der harmonische Mittelwert?
Der harmonische Mittelwert ist n geteilt durch die Summe der Kehrwerte. Formel: n / (1/x₁ + 1/x₂ + ... + 1/xₙ). Er passt für Durchschnittsgeschwindigkeiten oder Preise pro Einheit. Bei 60 km/h hin und 40 km/h zurück beträgt der Durchschnitt 48 km/h, nicht 50 km/h.
Was ist der gewichtete Durchschnitt?
Beim gewichteten Mittelwert werden Werte unterschiedlich stark berücksichtigt. Formel: Σ(Wert × Gewicht) / Σ(Gewichte). Beispiel: Mathe 3 mit Gewicht 2 und Deutsch 2 mit Gewicht 1 ergibt (3×2 + 2×1) / (2+1) = 2,67.
Wie berechne ich die Standardabweichung?
Die Standardabweichung misst die Streuung um den Mittelwert. Formel: σ = √(Σ(xᵢ - x̄)² / n). Schritte: 1) Mittelwert berechnen, 2) Abweichungen quadrieren, 3) Durchschnitt der Quadrate, 4) Wurzel ziehen. Kleine σ = Werte nah am Mittelwert, große σ = hohe Streuung.
Was ist die Spannweite?
Die Spannweite ist die Differenz zwischen größtem und kleinstem Wert. Bei den Daten 2, 5, 8, 10, 15 beträgt sie 15 - 2 = 13. Der Kennwert ist leicht verständlich, aber empfindlich gegenüber Ausreißern.
Wann verwende ich welchen Durchschnitt?
Arithmetischer: Standardfall, gleichmäßige Daten. Median: Bei Ausreißern (Einkommen, Immobilienpreise). Geometrischer: Wachstumsraten, Renditen. Harmonischer: Durchschnittsgeschwindigkeiten, Preise pro Einheit. Gewichtet: Wenn Werte unterschiedlich wichtig sind (Noten, Portfolios).
Kann der Durchschnitt irreführend sein?
Ja. Wenn 9 Personen je 10.000 € verdienen und eine Person 1,11 Mio. €, liegt der Durchschnitt bei 120.000 €, der Median aber nur bei 10.000 €. Bei Einkommen, Preisen und stark schiefen Daten solltest du deshalb Median und Streuung mit betrachten.
Warum darf ich Durchschnittswerte nicht aus bereits gerundeten Werten bilden?
Rundungen verändern einzelne Werte leicht. Wenn du viele gerundete Zwischenergebnisse erneut mittlest, können sich diese kleinen Abweichungen aufsummieren. Für genaue Ergebnisse solltest du mit den Originalwerten rechnen und erst das Endergebnis runden.
Wann brauche ich einen gewichteten statt einfachen Durchschnitt?
Einen gewichteten Durchschnitt brauchst du, wenn nicht jeder Wert gleich wichtig ist. Beispiele sind Schulnoten mit unterschiedlicher Gewichtung, Warenkörbe mit Mengenangaben oder Renditen mit verschieden großen Anlagebeträgen.