Lineare Interpolation Rechner

Lineare Interpolation schätzt einen Wert zwischen zwei bekannten Punkten durch eine Gerade. Gegeben: Punkte (x₁,y₁) und (x₂,y₂). Gesucht: y-Wert an Position x. Formel: y = y₁ + (x-x₁) × (y₂-y₁)/(x₂-x₁). Es wird angenommen, dass sich der Wert linear (gleichmäßig) zwischen den Punkten ändert.

Anwendungen: Tabellenwerte zwischen Stützstellen finden, Bildskalierung (Pixel-Zwischenwerte), Animationen (Übergänge), Wettervorhersagen (zwischen Messstationen), Statistik (fehlende Datenpunkte), 3D-Grafik (Schattierungen), Steuerung (Zwischenpositionen). Überall wo Zwischenwerte geschätzt werden.

Beispiel: Zwischen (10, 20) und (30, 80), gesucht y bei x=18. Formel: y = 20 + (18-10) × (80-20)/(30-10) = 20 + 8 × 60/20 = 20 + 24 = 44. Interpretation: Bei x=18 liegt y=44. Die Steigung der Geraden ist 60/20 = 3, d. h. pro x-Einheit steigt y um 3.

Interpolation: Wert ZWISCHEN bekannten Punkten schätzen (sicher). Extrapolation: Wert AUSSERHALB bekannter Punkte schätzen (riskant). Beispiel: Daten für x=0-100 vorhanden, x=50 interpolieren (gut), x=150 extrapolieren (unsicher). Extrapolation kann zu großen Fehlern führen, da Trends sich ändern können.

Genauigkeit hängt ab von: Abstand der Stützstellen (näher = besser), Linearität der Daten (krumme Kurven = Fehler), Position (Mitte besser als Rand). Fehler bei nichtlinearen Daten: Bei quadratischem Verlauf kann der Fehler bis zu 25 % der Amplitude betragen. Für gekrümmte Verläufe: Polynominterpolation oder Splines.

Erweiterung auf 2D-Gitter: Interpolation in beide Richtungen (x und y). Verwendet für: Bildskalierung, Texturen in 3D-Grafik, geografische Daten. Prozess: Erst in x-Richtung an zwei Stellen interpolieren, dann in y-Richtung zwischen diesen Ergebnissen. Ergebnis: Glatte Übergänge im 2D-Raum.

Vermeiden bei: Stark gekrümmten Verläufen (exponentiell, logarithmisch), periodischen Daten (Sinus), Daten mit Sprüngen oder Knicken, wenn hohe Genauigkeit erforderlich ist. Alternativen: Polynominterpolation, Spline-Interpolation, logarithmische Interpolation (für exponentielles Wachstum).

Für jeden Abschnitt zwischen zwei Punkten: Eigene lineare Interpolation. Beispiel: Punkte bei x=0,10,20,30. Für x=15: Zwischen x=10 und x=20 interpolieren. Für x=25: Zwischen x=20 und x=30 interpolieren. Ergebnis: Stückweise lineare Funktion (Polygonzug).

Der Faktor t beschreibt die Position zwischen zwei Punkten: t = (x-x₁)/(x₂-x₁). Bei t=0: Am ersten Punkt. Bei t=1: Am zweiten Punkt. Bei t=0,5: Genau in der Mitte. Vereinfachte Formel mit t: y = y₁ × (1-t) + y₂ × t = y₁ + t × (y₂-y₁). Oft in Computergrafik verwendet.

JavaScript/TypeScript: function lerp(a, b, t) { return a + t * (b - a); } oder (1-t)*a + t*b. Für x,y-Punkte: t = (x - x1) / (x2 - x1); y = lerp(y1, y2, t). Die Funktion 'lerp' (linear interpolation) ist in vielen Sprachen und Game-Engines eingebaut.

Die Berechnungen basieren auf aktuellen mathematischen Formeln und Standards. Die Genauigkeit hängt von der Qualität der eingegebenen Daten ab. Für rechtlich bindende Berechnungen solltest du einen Fachexperten konsultieren.

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