Berechne kumulative Binomialwahrscheinlichkeiten für höchstens, mindestens oder genau k Treffer. Inklusive Erwartungswert, Streuung und passender Formel.
Versuche, Trefferchance und Trefferbereich
Berechne kumulative Binomialwahrscheinlichkeiten für höchstens, mindestens, genau oder zwischen bestimmten Trefferzahlen.
Kumulative Wahrscheinlichkeit
Ergebnis, Gegenbereich, Erwartungswert und Formel
Wähle den Trefferbereich und trage Versuche sowie Trefferchance ein.
Wie berechnet der Rechner kumulative Wahrscheinlichkeit?
ƒKumulative Binomialwahrscheinlichkeit
P(a≤X≤b)=k=a∑b(kn)pk(1−p)n−k
Variablen
X
Trefferzahl-Zufallsvariable für die Anzahl der Treffer.
n
Versuche-Anzahl der unabhängigen Wiederholungen.
p
Trefferwahrscheinlichkeit-Wahrscheinlichkeit für einen Treffer pro Versuch.
a
untere Grenze-Kleinste Trefferzahl, die mitgezählt wird.
b
obere Grenze-Größte Trefferzahl, die mitgezählt wird.
Welche kumulative Wahrscheinlichkeit passt?
Die Auswahl legt fest, welche Trefferzahlen in die Summe der Binomialverteilung eingehen.
Modus
Trefferbereich
Typische Frage
Höchstens k
0 bis k Treffer
Wie groß ist die Chance, dass es maximal k Treffer gibt?
Mindestens k
k bis n Treffer
Wie groß ist die Chance, die Mindestzahl zu erreichen?
Genau k
nur k Treffer
Wie wahrscheinlich ist genau diese Trefferzahl?
Zwischen a und b
a bis b Treffer
Wie groß ist die Chance auf einen Trefferkorridor?
Die Binomialverteilung passt nur, wenn die Versuche unabhängig sind und p in jedem Versuch gleich bleibt.
Beispielrechnungen mit Binomialverteilung
Die Beispiele nutzen verschiedene Trefferbereiche, damit der Unterschied zwischen genau und kumuliert sichtbar wird.
Fall
Eingabe
Bereich
Ergebnis
Höchstens 5 Treffer
n = 20, p = 30 %
0 bis 5 Treffer
41,64 %
Mindestens 5 Treffer
n = 20, p = 30 %
5 bis 20 Treffer
76,25 %
Genau 3 Treffer
n = 10, p = 50 %
genau 3 Treffer
11,72 %
Zwischen 2 und 5 Treffern
n = 12, p = 25 %
2 bis 5 Treffer
78,72 %
Der Gegenbereich ist immer 100 % minus Ergebnis. Das ist ein schneller Plausibilitätscheck bei sehr kleinen oder sehr großen Bereichen.
Ergebnis und Gegenwahrscheinlichkeit prüfen
Die Gegenwahrscheinlichkeit hilft, kumulative Ergebnisse zu kontrollieren. Ergebnis und Gegenbereich ergeben zusammen 100 %.
Fall
Eingabe
Bereich
Ergebnis
Gegenbereich
Kontrolle
Höchstens 5 Treffer
n = 20, p = 30 %
0 bis 5 Treffer
41,64 %
58,36 %
Mehr als 5 Treffer ist der Gegenbereich.
Mindestens 5 Treffer
n = 20, p = 30 %
5 bis 20 Treffer
76,25 %
23,75 %
0 bis 4 Treffer ist der Gegenbereich.
Genau 3 Treffer
n = 10, p = 50 %
genau 3 Treffer
11,72 %
88,28 %
Alle Trefferzahlen außer 3 ergeben den Gegenbereich.
Bei gerundeten Prozentwerten kann die Summe optisch um 0,01 Prozentpunkte abweichen.
Erwartungswert und Streuung einordnen
Der Erwartungswert zeigt die durchschnittliche Trefferzahl. Die Standardabweichung zeigt, wie breit die Ergebnisse um diesen Wert streuen.
Kennzahl
Berechnung
Deutung
Erwartungswert
n mal p
6,00 Treffer im Beispiel
Standardabweichung
Wurzel aus n mal p mal (1 minus p)
2,05 Treffer im Beispiel
Wahrscheinlichste Trefferzahl
Lage der höchsten Einzelwahrscheinlichkeit
6 Treffer im Beispiel
Gegenbereich
100 % minus kumulative Wahrscheinlichkeit
58,36 % im Beispiel
Bei sehr großen n kann eine Normalapproximation sinnvoll sein. Dieser Rechner summiert die Binomialwahrscheinlichkeiten direkt.
Häufig gestellte Fragen zum Kumulative-Wahrscheinlichkeit-Rechner
Was berechnet der kumulierte Wahrscheinlichkeitsrechner?
Der Rechner berechnet Wahrscheinlichkeiten für Bereiche einer Binomialverteilung. Du gibst die Anzahl der Versuche, die Trefferwahrscheinlichkeit pro Versuch und den Trefferbereich ein. Danach siehst du zum Beispiel, wie wahrscheinlich höchstens, mindestens, genau oder zwischen bestimmten Trefferzahlen sind.
Wann passt die Binomialverteilung?
Die Binomialverteilung passt, wenn jeder Versuch nur Treffer oder kein Treffer kennt, alle Versuche unabhängig sind und die Trefferwahrscheinlichkeit gleich bleibt. Ein klassisches Beispiel ist wiederholtes Werfen einer fairen Münze. Ziehen ohne Zurücklegen passt dagegen nicht, weil sich die Wahrscheinlichkeiten nach jedem Zug verändern.
Was bedeutet kumulative Wahrscheinlichkeit?
Kumulativ heißt, dass mehrere einzelne Trefferzahlen zusammengerechnet werden. Bei höchstens 5 Treffern zählen also 0, 1, 2, 3, 4 und 5 Treffer gemeinsam. Dadurch ist die kumulative Wahrscheinlichkeit meist deutlich größer als die Wahrscheinlichkeit für genau eine einzelne Trefferzahl.
Was ist der Unterschied zwischen höchstens und mindestens?
Höchstens k Treffer zählt alles von 0 bis k. Mindestens k Treffer zählt alles von k bis zur gesamten Versuchszahl. Beide Fragen können mit denselben Eingaben sehr unterschiedliche Ergebnisse liefern, weil sie entgegengesetzte Teile der Verteilung betrachten.
Warum fragt der Rechner nach p in Prozent?
Prozent ist für viele Aufgaben die verständlichere Eingabe. Intern rechnet der Rechner mit dem Dezimalwert, also zum Beispiel mit 0,30 statt 30 %. Dadurch bleibt die Formel korrekt, während die Eingabe trotzdem gut lesbar ist.
Was sagt der Erwartungswert aus?
Der Erwartungswert ist die durchschnittliche Trefferzahl über sehr viele gleich aufgebaute Wiederholungen. Er ist kein Versprechen für einen einzelnen Durchlauf. Bei 20 Versuchen und 30 % Trefferwahrscheinlichkeit liegt er bei 6 Treffern, einzelne Durchläufe können aber darunter oder darüber liegen.
Warum ist die Standardabweichung hilfreich?
Die Standardabweichung zeigt, wie breit die Trefferzahlen typischerweise um den Erwartungswert streuen. Eine kleine Standardabweichung bedeutet, dass viele Ergebnisse nah am Erwartungswert liegen. Eine größere Standardabweichung macht extreme Trefferzahlen plausibler, auch wenn sie nicht die häufigsten Ergebnisse sind.
Warum kann die Gegenwahrscheinlichkeit praktischer sein?
Manche Bereiche lassen sich über den Gegenbereich schneller prüfen. Mindestens ein Treffer ist zum Beispiel oft einfacher als 100 % minus kein Treffer. Der Rechner zeigt deshalb immer auch den Gegenwert, damit du das Ergebnis leichter kontrollieren kannst.
Was passiert bei 0 % oder 100 % Trefferwahrscheinlichkeit?
Dann wird die Verteilung nicht mehr zufällig im normalen Sinn. Bei 0 % gibt es immer 0 Treffer, bei 100 % gibt es immer n Treffer. Der Rechner behandelt diese Randfälle direkt, damit keine Rundungsfehler aus der Formel entstehen.
Kann ich abhängige Ereignisse damit berechnen?
Nicht zuverlässig. Wenn ein Versuch den nächsten beeinflusst, passt die Binomialannahme nicht mehr. Das betrifft zum Beispiel Ziehen ohne Zurücklegen, veränderte Quoten, Lernprozesse oder Situationen, in denen sich p nach jedem Versuch verschiebt.
Warum kann genau k Treffer seltener sein als ein Bereich?
Genau k betrachtet nur eine einzige Trefferzahl. Ein Bereich sammelt mehrere Trefferzahlen und addiert deren Wahrscheinlichkeiten. Darum kann höchstens 5 Treffer oder zwischen 4 und 8 Treffern viel wahrscheinlicher sein als genau 5 Treffer.
Wie rundet der Rechner die Ergebnisse?
Die Berechnung läuft intern mit normalen Gleitkommazahlen und wird erst für die Anzeige gerundet. Kleine Abweichungen in den letzten Nachkommastellen sind bei Wahrscheinlichkeitsrechnungen normal. Für Schule, Studium und schnelle Modellchecks reicht die angezeigte Genauigkeit in der Regel aus.