CAS = Computer Algebra System. Führt symbolische statt numerische Berechnungen durch.
Populäre CAS-Systeme im Vergleich
System
Typ
Kosten
Typischer Einsatz
Wolfram Alpha
Online
Freemium
Schnelle Berechnungen, Schule
GeoGebra CAS
App/Web
Kostenlos
Schule, Visualisierung
Mathematica
Software
Kostenpflichtig
Forschung, Uni
MATLAB Symbolic
Software
Kostenpflichtig
Ingenieurwesen
SymPy (Python)
Bibliothek
Open Source
Programmierung
TI-Nspire CAS
Taschenrechner
~150 €
Schule, Abitur
In einigen Bundesländern sind CAS-Rechner im Abitur zugelassen.
Wichtige algebraische Regeln (CAS-Grundlage)
Regel
Formel
Beispiel
1. Binomische Formel
(a+b)² = a²+2ab+b²
(x+3)² = x²+6x+9
2. Binomische Formel
(a-b)² = a²-2ab+b²
(x-2)² = x²-4x+4
3. Binomische Formel
(a+b)(a-b) = a²-b²
(x+5)(x-5) = x²-25
Potenzregel
aⁿ × aᵐ = aⁿ⁺ᵐ
x³ × x² = x⁵
Quotientenregel
aⁿ / aᵐ = aⁿ⁻ᵐ
x⁵ / x² = x³
Wurzelregel
√(a×b) = √a × √b
√12 = √4 × √3 = 2√3
CAS-Systeme wenden diese Regeln automatisch an.
Häufig gestellte Fragen zum CAS-Rechner
Was ist ein CAS-Rechner (Computer Algebra System)?
Ein CAS führt symbolische Berechnungen durch. Es arbeitet also mit Variablen statt nur mit Zahlen. Typische Funktionen sind das Vereinfachen von Ausdrücken, Ableiten, Integrieren, Lösen von Gleichungen, Faktorisieren und Ausmultiplizieren. CAS gibt es als Schulrechner, Desktopsoftware und Online-Werkzeug.
Wie vereinfacht ein CAS algebraische Ausdrücke?
Ein CAS fasst gleichartige Terme zusammen, löst Doppelbrüche auf, vereinfacht Vorzeichen, nutzt Potenzregeln und kürzt Brüche, wenn das mathematisch zulässig ist. 3x + 2x wird zu 5x, x² · x³ zu x⁵. Das Ergebnis ist eine äquivalente Form, aber nicht immer die einzige mögliche Vereinfachung.
Wie werden Ableitungen im CAS berechnet?
Das CAS wendet Ableitungsregeln automatisch an: Potenzregel, Summenregel, Produktregel, Quotientenregel und Kettenregel. Beispiel: d/dx (x³ + 2x²) = 3x² + 4x. Je nach System sind auch höhere Ableitungen, partielle Ableitungen und implizite Differentiation möglich.
Ausmultiplizieren = Klammern auflösen. Distributivgesetz: a(b+c) = ab + ac. Binomische Formeln: (a+b)² = a² + 2ab + b². Beispiel: (x+3)² = x² + 6x + 9. Das CAS wendet alle Regeln automatisch an und fasst Terme zusammen.
Welche Eingabeformate versteht der CAS-Rechner?
Übliche Formate sind Potenzen als x^2 oder x², Multiplikation als 2*x oder 2x, Division als x/y, Wurzeln als sqrt(x) und Brüche als (a+b)/(c+d). Klammern sind entscheidend: 1/2x kann anders gelesen werden als 1/(2x). Bei unklaren Eingaben solltest du Multiplikationszeichen und Klammern ausdrücklich setzen.
Kann der CAS-Rechner Gleichungen lösen?
Ja, viele CAS können lineare Gleichungen, quadratische Gleichungen, Polynomgleichungen, Exponentialgleichungen und trigonometrische Gleichungen lösen. Aus 2x + 3 = 7 wird zum Beispiel x = 2. Das Ergebnis kann exakt, symbolisch, näherungsweise oder als Lösungsmenge ausgegeben werden.
Was sind die Grenzen eines CAS?
Nicht jedes Integral hat eine geschlossene Darstellung. Manche Gleichungen lassen sich nur numerisch oder unter Zusatzbedingungen lösen. Außerdem ist die einfachste Form nicht eindeutig: x² - 1 kann als x² - 1 oder als (x-1)(x+1) nützlicher sein. Ein CAS liefert Rechenhilfe, ersetzt aber nicht die mathematische Prüfung.
Sind CAS-Rechner in Prüfungen erlaubt?
Das hängt von Schule, Bundesland, Prüfungsordnung, Kurs und konkreter Prüfung ab. Manche Prüfungen erlauben CAS ausdrücklich, andere erlauben nur bestimmte Taschenrechner oder gar keine elektronischen Hilfsmittel. Verbindlich ist immer die aktuelle Prüfungsregel deiner Schule, Hochschule oder Kammer.
Wie unterscheidet sich ein CAS von einem Taschenrechner?
Ein einfacher Taschenrechner rechnet vor allem numerisch, zum Beispiel 3 + 5 = 8. Ein CAS arbeitet zusätzlich symbolisch, also a + a = 2a, und kann Ausdrücke umformen, ableiten, integrieren oder faktorisieren. Ein grafischer Taschenrechner kann Funktionen zeichnen, hat aber nicht automatisch vollständige symbolische Algebra.
Warum muss ich trotz CAS den Definitionsbereich prüfen?
Beim Umformen können Bedingungen verloren gehen. Wird ein Bruch gekürzt, eine Wurzel quadriert oder ein Logarithmus umgeformt, bleiben Ausschlusswerte und Vorzeichenbedingungen trotzdem relevant. Deshalb solltest du CAS-Ergebnisse immer gegen die ursprüngliche Aufgabe prüfen, besonders bei Brüchen, Wurzeln, Logarithmen und Gleichungen.
Wie nutze ich ein CAS-Ergebnis in einer Lösung richtig?
Übernimm nicht nur das Endergebnis. Notiere die Eingabe, prüfe die Voraussetzungen und erkläre die wichtigsten Umformungsschritte. Bei mehreren möglichen Formen wählst du die Form, die zur Aufgabe passt: faktorisiert für Nullstellen, ausmultipliziert zum Vergleichen, abgeleitet für Steigungen und integriert für Stammfunktionen.