Für n×n-Matrix: det(A) = 0 ⟺ A ist singulär (nicht invertierbar)
Matrix-Operationen
Grundlegende Operationen mit Matrizen
Operation
Bedingung
Ergebnis-Dimension
Addition A + B
Gleiche Dimension
m × n
Subtraktion A - B
Gleiche Dimension
m × n
Skalarmultiplikation k·A
Keine
m × n
Multiplikation A·B
Spalten(A) = Zeilen(B)
m × p
Transponierte Aᵀ
Keine
n × m
Inverse A⁻¹
det(A) ≠ 0, quadratisch
n × n
A (m×n) bedeutet: m Zeilen, n Spalten
Häufig gestellte Fragen zum Charakteristisches-Polynom-Rechner
Was ist das charakteristische Polynom?
Das charakteristische Polynom p(lambda) = det(A - lambda·I) einer n×n-Matrix A ist ein Polynom n-ten Grades. Seine Nullstellen sind die Eigenwerte der Matrix. Es enthält wichtige Informationen wie Spur und Determinante.
Was sind Eigenwerte?
Eigenwerte lambda sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms. Für einen Eigenwert lambda existiert ein Eigenvektor v ungleich 0 mit A·v = lambda·v. Die Matrix streckt den Eigenvektor nur, ohne seine Richtung zu ändern.
Was sagt der Satz von Cayley-Hamilton?
Der Satz besagt, dass jede Matrix ihr eigenes charakteristisches Polynom erfüllt: p(A) = 0 (Nullmatrix). Dies ermöglicht die Berechnung von Matrixpotenzen und die Inverse über das charakteristische Polynom.
Wie hängen Spur und Determinante mit dem charakteristischen Polynom zusammen?
Die Spur (Summe der Diagonalelemente) ist die Summe der Eigenwerte. Die Determinante ist das Produkt der Eigenwerte. Für eine 2×2-Matrix: p(lambda) = lambda² - spur(A)·lambda + det(A).
Können Eigenwerte komplex sein?
Ja, auch bei reellen Matrizen können komplexe Eigenwerte auftreten. Solche Eigenwerte treten immer als konjugiert komplexe Paare auf: a + bi und a - bi. Komplexe Eigenwerte deuten auf Rotationen oder Schwingungen hin.
Was ist Diagonalisierbarkeit?
Eine Matrix ist diagonalisierbar, wenn es n linear unabhängige Eigenvektoren gibt. Dann gilt A = P·D·P⁻¹, wobei D die Diagonalmatrix der Eigenwerte und P die Matrix der Eigenvektoren ist. Nicht alle Matrizen sind diagonalisierbar.
Wofür braucht man das charakteristische Polynom?
Anwendungen: Eigenwertberechnung, Stabilitätsanalyse (alle Eigenwerte mit negativem Realteil = stabil), Hauptkomponentenanalyse, Schwingungsanalyse, Google PageRank, Quantenmechanik (Observable als Matrizen).
Welche Eingaben braucht der Rechner für das charakteristische Polynom?
Du brauchst eine quadratische Matrix. Bei einer 2×2-Matrix sind das 4 Werte, bei einer 3×3-Matrix 9 Werte. Die Reihenfolge der Zeilen und Spalten muss stimmen, weil eine vertauschte Eingabe ein anderes Polynom ergeben kann.
Warum gibt es unterschiedliche Vorzeichenkonventionen?
Manche Quellen definieren das charakteristische Polynom als det(A - lambda·I), andere als det(lambda·I - A). Bei gerader Matrixgröße unterscheiden sich die Varianten oft nicht, bei ungerader Matrixgröße kann sich das Vorzeichen ändern. Die Eigenwerte bleiben trotzdem dieselben.
Wie prüfe ich das charakteristische Polynom?
Für kleine Matrizen helfen einfache Kontrollen. Der konstante Term hängt mit der Determinante zusammen, und der Koeffizient vor der zweithöchsten Potenz hängt mit der Spur zusammen. Außerdem müssen die Nullstellen des Polynoms die Eigenwertgleichung erfüllen.