Bruchgleichungen Rechner

Eine Bruchgleichung ist eine Gleichung, bei der die Variable (meist x) im Nenner eines Bruchs vorkommt. Beispiele: 1/x = 2, (x+1)/(x-2) = 3, 2/(x+1) + 3/(x-1) = 0. Die Variable ist Teil des Nenners, nicht nur des Zählers. Dies erfordert besondere Lösungsverfahren und Definitionsbereichsprüfung.

Schritt 1: Definitionsbereich bestimmen (Nenner ≠ 0). Schritt 2: Hauptnenner (HN) finden und alle Terme damit multiplizieren. Schritt 3: Entstehende Gleichung lösen. Schritt 4: Lösung im Definitionsbereich prüfen. Beispiel: 2/x = 4 → DB: x ≠ 0 → 2 = 4x → x = 0,5 ✓ (ist im DB).

Der Definitionsbereich umfasst alle x-Werte, für die die Gleichung gültig ist. Bei Brüchen muss der Nenner ≠ 0 sein. Beispiel: Bei 1/(x-3) gilt x ≠ 3. Bei 1/((x-1)(x+2)) gilt x ≠ 1 und x ≠ -2. Setze jeden Nenner = 0 und löse nach x, um Ausschlusswerte zu finden.

Eine Scheinlösung entsteht, wenn die rechnerische Lösung nicht im Definitionsbereich liegt. Beispiel: (x+1)/(x-2) = (x+1)/(x-2) + 2 multipliziert mit (x-2) ergibt x+1 = x+1+2(x-2), also 0 = 2x-4, also x = 2. Aber x = 2 macht den Nenner null - Scheinlösung! Die Gleichung hat keine Lösung.

Der Hauptnenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) aller Nenner. Bei (x-1) und (x+2) ist der HN = (x-1)(x+2). Bei 2, x und 2x ist der HN = 2x. Faktorisiere die Nenner vollständig und nimm jeden Faktor in der höchsten vorkommenden Potenz.

Bei mehreren Brüchen: 1) Alle Nenner faktorisieren, 2) Hauptnenner bestimmen, 3) Jeden Bruch auf den HN erweitern, 4) Alle Terme mit HN multiplizieren. Beispiel: 1/(x-1) + 1/(x+1) = 2 → HN = (x-1)(x+1) → (x+1) + (x-1) = 2(x-1)(x+1) → 2x = 2(x²-1) → lösen.

Wenn der Hauptnenner einen quadratischen Term enthält oder durch Multiplikation ein Produkt von x-Termen entsteht. Beispiel: 1/x + 1/(x+1) = 1 führt nach Multiplikation mit x(x+1) zu (x+1) + x = x(x+1), also 2x+1 = x²+x, also x²-x-1 = 0. Dann p-q-Formel oder Mitternachtsformel anwenden.

Sonderfälle: 1) Keine Lösung, wenn alle Lösungen Scheinlösungen sind. 2) Unendlich viele Lösungen bei Identitäten wie x/x = 1 (für alle x ≠ 0). 3) Leerer Definitionsbereich, wenn der Nenner für alle x null wird (theoretisch). Immer Probe machen und Definitionsbereich prüfen!

1) Prüfe, ob die Lösung im Definitionsbereich liegt (nicht ausgeschlossen). 2) Setze die Lösung in die ursprüngliche Gleichung ein. 3) Vereinfache beide Seiten getrennt. 4) Prüfe, ob die Gleichheit erfüllt ist. Tipp: Auch ungefähre Dezimalwerte helfen bei der Kontrolle.

Häufige Fehler: 1) Definitionsbereich vergessen zu prüfen. 2) Scheinlösungen nicht erkennen. 3) Beim Erweitern nicht alle Terme berücksichtigen. 4) Vorzeichen beim Multiplizieren vergessen. 5) Hauptnenner falsch bestimmen. 6) Probe nicht durchführen. 7) Bei negativem x unter der Wurzel (bei quadratischen) aufpassen.

Die Berechnungen basieren auf aktuellen mathematischen Formeln und Standards. Die Genauigkeit hängt von der Qualität der eingegebenen Daten ab. Für rechtlich bindende Berechnungen solltest du einen Fachexperten konsultieren.

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