Diese Formeln sind Grundlage für komplexere trigonometrische Berechnungen.
Trigonometrische Funktionen im rechtwinkligen Dreieck
Funktion
Definition
Formel
Umkehrfunktion
sin α
Gegenkathete / Hypotenuse
a / c
arcsin
cos α
Ankathete / Hypotenuse
b / c
arccos
tan α
Gegenkathete / Ankathete
a / b
arctan
cot α
Ankathete / Gegenkathete
b / a
arccot
sec α
1 / cos α
c / b
arcsec
csc α
1 / sin α
c / a
arccsc
α = Winkel, a = Gegenkathete, b = Ankathete, c = Hypotenuse
Häufig gestellte Fragen zum Trigonometrie-Rechner
Was sind Sinus, Kosinus und Tangens?
Trigonometrische Funktionen beschreiben im rechtwinkligen Dreieck Seitenverhältnisse abhängig vom Winkel. Sinus (sin) = Gegenkathete ÷ Hypotenuse. Kosinus (cos) = Ankathete ÷ Hypotenuse. Tangens (tan) = Gegenkathete ÷ Ankathete = sin ÷ cos. Wichtig ist, vorher festzulegen, auf welchen Winkel sich Gegenkathete und Ankathete beziehen.
Wie rechne ich zwischen Grad und Radiant um?
Umrechnung: Radiant = Grad × (π ÷ 180). Grad = Radiant × (180 ÷ π). Wichtige Werte: 90° = π/2 rad, 180° = π rad, 360° = 2π rad. Merkhilfe: π rad ≈ 3,14 rad = 180°. Die meisten Taschenrechner haben einen DEG/RAD-Umschalter.
Wann verwende ich welche trigonometrische Funktion?
Sinus: Wenn Gegenkathete und Hypotenuse bekannt sind oder gesucht werden. Kosinus: Für Ankathete und Hypotenuse. Tangens: Für Gegen- und Ankathete ohne Hypotenuse. Für den Winkel: Umkehrfunktionen arcsin, arccos, arctan verwenden.
Der Einheitskreis ist ein Kreis mit Radius 1 um den Ursprung. Jeder Punkt auf dem Kreis hat die Koordinaten (cos α, sin α). Dadurch lassen sich Sinus und Kosinus für alle Winkel definieren, nicht nur für Winkel zwischen 0° und 90°. Am Einheitskreis erkennt man auch die Grundidentität sin² α + cos² α = 1.
Wie berechne ich Winkel aus trigonometrischen Werten?
Für Winkel nutzt du die Umkehrfunktionen arcsin, arccos und arctan. Beispiel: Aus sin α = 0,5 folgt im Hauptwert α = arcsin(0,5) = 30°. Dabei können mehrere Winkel denselben Funktionswert haben, zum Beispiel sin 30° = sin 150° = 0,5. Der Taschenrechner liefert meist nur den Hauptwert.
Was sind die Additionstheoreme?
Formeln für Summen und Differenzen: sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β. cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β. tan(α + β) = (tan α + tan β) ÷ (1 - tan α tan β). Nützlich für Berechnungen ohne Taschenrechner.
Wie wende ich Trigonometrie in der Praxis an?
Trigonometrie hilft bei Höhenmessung, Vermessung, Navigation, Schwingungen, Wechselstrom, Dachneigungen und grafischen Berechnungen. Beispiel: Wenn der Abstand zu einem Baum bekannt ist und du den Höhenwinkel misst, ergibt sich die Höhe näherungsweise aus tan(Winkel) × Abstand. Messhöhe und Geländeneigung müssen dabei mitgedacht werden.
Was ist der Unterschied zwischen sin, cos, tan und ihren Kehrwerten?
Kehrwertfunktionen: Kosekans (csc) = 1/sin, Sekans (sec) = 1/cos, Kotangens (cot) = 1/tan = cos/sin. In der Praxis weniger verwendet, aber in der höheren Mathematik wichtig. Nicht zu verwechseln mit Umkehrfunktionen (arcsin etc.).
Wie löse ich ein beliebiges Dreieck trigonometrisch?
Für allgemeine Dreiecke nutzt du meist Sinussatz und Kosinussatz. Der Sinussatz passt, wenn ein Seiten-Winkel-Gegenpaar bekannt ist und noch eine weitere passende Seite oder ein Winkel vorliegt. Beim Fall Seite-Seite-Winkel können zwei Lösungen entstehen. Der Kosinussatz passt bei drei Seiten oder bei zwei Seiten mit eingeschlossenem Winkel.
Was muss ich beim Grad- und Radiantmodus prüfen?
Viele falsche Trigonometrie-Ergebnisse entstehen durch den falschen Winkelmodus. 30° im Gradmodus ist nicht dasselbe wie 30 Radiant. Prüfe deshalb vor der Rechnung, ob dein Rechner auf Grad (DEG) oder Radiant (RAD) eingestellt ist. Besonders bei Aufgaben mit π, Bogenmaß oder Funktionen aus der Analysis ist Radiant meist der richtige Modus.
Warum ist der Tangens bei 90° nicht definiert?
Tangens ist sin α ÷ cos α. Bei 90° gilt cos 90° = 0. Dadurch würde beim Tangens durch 0 geteilt, und das ist nicht definiert. Geometrisch entspricht das einer senkrechten Richtung mit unendlich steiler Gerade. Deshalb hat tan α bei 90°, 270° und entsprechenden Winkeln Definitionslücken.