Häufig gestellte Fragen zum Ungleichungen-lösen-Rechner
Was ist der Unterschied zwischen Gleichung und Ungleichung?
Bei einer Gleichung (=) gibt es meist einzelne Lösungen. Bei einer Ungleichung (<, >, ≤, ≥) ist die Lösung oft ein ganzes Intervall mit allen Werten, die die Bedingung erfüllen. Beispiel: x > 3 hat die Lösungsmenge (3, ∞).
Wann dreht sich das Ungleichheitszeichen um?
Das Ungleichheitszeichen dreht sich um, wenn du beide Seiten mit einer negativen Zahl multiplizierst oder dividierst. Beispiel: -2x > 4 wird zu x < -2, nicht zu x > -2. Das ist einer der häufigsten Fehler bei Ungleichungen.
Was bedeutet die Intervallschreibweise?
Runde Klammern ( ) = Grenze nicht enthalten (offenes Intervall). Eckige Klammern (z. B. [5,10]) = Grenze enthalten (geschlossenes Intervall). Beispiel: (3, 5) offen bedeutet größer als 3 und kleiner als 5.
Wie löse ich Ungleichungen mit Beträgen?
Für a > 0 gilt bei |x| < a die Doppelungleichung -a < x < a, also ein Intervall um 0. Bei |x| > a gilt x < -a oder x > a, also zwei getrennte Intervalle. Beispiel: |x - 2| < 5 bedeutet -3 < x < 7. Bei a = 0 oder a < 0 müssen Betragsungleichungen gesondert geprüft werden.
Was sind quadratische Ungleichungen?
Bei ax² + bx + c > 0 müssen erst die Nullstellen gefunden werden (pq-Formel). Dann bestimmt man das Vorzeichen in den Intervallen zwischen den Nullstellen. Das Ergebnis können ein oder zwei Intervalle sein.
Wie stelle ich die Lösung auf der Zahlengerade dar?
Bei einem offenen Intervall wird die Grenze nicht mitgenommen, bei einem geschlossenen Intervall schon. Auf der Zahlengerade entspricht das einem offenen oder ausgefüllten Punkt an der Grenze. Beispiel: x ≤ 5 enthält den Randwert 5 und alle kleineren Zahlen.
Was ist der Unterschied zwischen < und ≤?
< (kleiner) schließt die Grenze aus: x < 5 bedeutet x kann 4,99... sein, aber nicht 5. ≤ (kleiner oder gleich) schließt die Grenze ein: x ≤ 5 bedeutet x kann auch genau 5 sein.
Wie prüfe ich meine Lösung?
Setze einen Wert aus dem Lösungsintervall in die ursprüngliche Ungleichung ein. Die Aussage muss wahr sein. Setze zusätzlich einen Wert außerhalb ein. Diese Aussage sollte falsch sein. Bei Intervallgrenzen prüfst du außerdem, ob < oder ≤ gefordert war.
Warum muss ich bei Ungleichungen die Randpunkte extra prüfen?
Randpunkte entscheiden, ob ein Intervall offen oder geschlossen ist. Bei x < 5 gehört 5 nicht zur Lösung, bei x ≤ 5 schon. Nach Umformungen, Quadrieren oder Fallunterscheidungen kann sich die Randfrage leicht verschieben. Deshalb sollten die Grenzen immer in die ursprüngliche Ungleichung eingesetzt werden.
Wann brauche ich bei Ungleichungen eine Fallunterscheidung?
Eine Fallunterscheidung brauchst du bei Beträgen, Produkten, Brüchen und Ausdrücken mit variablen Vorzeichen. Sobald ein Term positiv oder negativ sein kann, kann sich die Richtung der Ungleichung oder die erlaubte Lösungsmenge ändern. Kritische Stellen sind Nullstellen von Zähler, Nenner und Betragstermen.