Umkehrfunktion-Rechner

Eine Umkehrfunktion f⁻¹ ist eine Funktion, die die Wirkung der ursprünglichen Funktion f rückgängig macht. Wenn f(x) = y, dann ist f⁻¹(y) = x. Die Umkehrfunktion vertauscht praktisch die Rollen von x und y. Nicht jede Funktion besitzt eine Umkehrfunktion - sie muss bijektiv (eindeutig und umkehrbar eindeutig) sein.

Eine Umkehrfunktion existiert nur dann, wenn die ursprüngliche Funktion bijektiv ist, das heißt sowohl injektiv (eindeutig) als auch surjektiv (umkehrbar eindeutig). Praktisch bedeutet dies, dass jeder y-Wert genau einem x-Wert zugeordnet ist. Der Horizontal-Linien-Test hilft dabei: Wenn jede horizontale Linie den Graphen höchstens einmal schneidet, existiert eine Umkehrfunktion.

Der Rechner kann lineare Funktionen (f(x) = ax + b), quadratische Funktionen (f(x) = ax² + bx + c), Exponentialfunktionen (f(x) = aˣ + b) und Logarithmusfunktionen (f(x) = a·ln(x) + b) umkehren. Bei quadratischen Funktionen ist zu beachten, dass eine Einschränkung des Definitionsbereichs erforderlich sein kann.

Für eine lineare Funktion f(x) = ax + b (mit a ≠ 0) geht man folgendermaßen vor: 1) Setze y = ax + b, 2) Löse nach x auf: x = (y - b)/a, 3) Vertausche x und y: f⁻¹(x) = (x - b)/a. Das Ergebnis ist wieder eine lineare Funktion mit Steigung 1/a.

Quadratische Funktionen sind Parabeln und daher nicht injektiv - verschiedene x-Werte können denselben y-Wert haben. Um eine Umkehrfunktion zu erhalten, muss der Definitionsbereich eingeschränkt werden, meist auf x ≥ -b/(2a) oder x ≤ -b/(2a). Die Umkehrfunktion ist dann eine Wurzelfunktion.

Um zu überprüfen, ob f⁻¹ tatsächlich die Umkehrfunktion von f ist, müssen zwei Bedingungen erfüllt sein: f(f⁻¹(x)) = x für alle x im Definitionsbereich von f⁻¹ und f⁻¹(f(x)) = x für alle x im Definitionsbereich von f. Diese Eigenschaft wird als Kompositions-Identität bezeichnet.

Der Graph von f⁻¹ entsteht durch Spiegelung des Graphen von f an der Winkelhalbierenden y = x. Punkte (a, b) auf dem Graphen von f entsprechen Punkten (b, a) auf dem Graphen von f⁻¹. Der Definitionsbereich von f wird zum Wertebereich von f⁻¹ und umgekehrt. Diese Spiegelungseigenschaft ist eine wichtige geometrische Charakteristik von Umkehrfunktionen.

Wichtige Paare: Exponential- und Logarithmusfunktion (eˣ ↔ ln(x)), Sinus und Arcussinus (sin ↔ arcsin, eingeschränkt), Quadrat und Wurzel (x² ↔ √x, für x ≥ 0), Tangens und Arcustangens (tan ↔ arctan). Bei den trigonometrischen Funktionen sind Einschränkungen nötig: arcsin ist nur für [-1,1] definiert und liefert Werte in [-π/2, π/2].

f⁻¹(x) bezeichnet die Umkehrfunktion, nicht 1/f(x) (das wäre der Kehrwert). Diese Notation stammt aus der Gruppentheorie, kann aber zu Verwechslungen führen. Beispiel: sin⁻¹(x) = arcsin(x) ist die Umkehrfunktion, (sin(x))⁻¹ = 1/sin(x) = csc(x) ist der Kehrwert. In manchen Kontexten wird daher arc- oder -inv bevorzugt (arcsin, inv(f)).

Umkehrfunktionen sind essentiell in vielen Bereichen: Entschlüsselung (Umkehrung der Verschlüsselung), pH-Berechnung (pH = -log[H⁺], Umkehrung: [H⁺] = 10⁻ᵖᴴ), Zinsrechnung (Kapital aus Endwert berechnen), Kalibrierung (Messwert aus Sensorspannung), Koordinatentransformationen. In der Physik: Geschwindigkeit aus Position (Ableitung) und Position aus Geschwindigkeit (Integration als Umkehrung).