Quadratische Funktionen Rechner

Eine quadratische Funktion hat die Form f(x) = ax² + bx + c, wobei a ≠ 0. Der Graph ist eine Parabel, die nach oben öffnet wenn a > 0 und nach unten wenn a < 0. Der wichtigste Punkt ist der Scheitelpunkt, der das Maximum oder Minimum der Funktion darstellt.

Der Scheitelpunkt S(xs|ys) ist der höchste oder tiefste Punkt der Parabel. Er wird berechnet mit: xs = -b/(2a) und ys = c - b²/(4a). Alternativ kann ys auch mit f(xs) berechnet werden. Bei a > 0 ist es ein Minimum, bei a < 0 ein Maximum.

Mit der Mitternachtsformel (abc-Formel): x₁,₂ = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a). Oder bei normierter Form (a=1) mit der pq-Formel: x₁,₂ = -p/2 ± √((p/2)² - q). Die Diskriminante D = b² - 4ac bestimmt die Anzahl der Lösungen.

Die Diskriminante D = b² - 4ac zeigt: D > 0: Zwei verschiedene Nullstellen, Parabel schneidet x-Achse zweimal. D = 0: Eine doppelte Nullstelle, Parabel berührt x-Achse. D < 0: Keine reellen Nullstellen, Parabel liegt komplett über oder unter der x-Achse.

Die Scheitelpunktform ist f(x) = a(x - xs)² + ys, wobei S(xs|ys) der Scheitelpunkt ist. sie zeigt direkt Position und Öffnung der Parabel. Umrechnung aus Normalform durch quadratische Ergänzung oder mit xs = -b/(2a).

Der Koeffizient a bestimmt: Öffnungsrichtung (a > 0 nach oben, a < 0 nach unten), Streckung (|a| > 1 schmalere Parabel, |a| < 1 breitere Parabel). Die Normalparabel hat a = 1 und Scheitelpunkt im Ursprung.

Der y-Achsenabschnitt ist der Punkt, an dem die Parabel die y-Achse schneidet. Er wird direkt durch c bestimmt: f(0) = c. Der Punkt (0|c) liegt immer auf dem Graphen.

Normalform → Scheitelpunkt: 1) xs = -b/(2a) berechnen. 2) ys = f(xs) einsetzen. 3) In a(x-xs)² + ys einsetzen. Scheitelpunkt → Normalform: Ausmultiplizieren: a(x-xs)² + ys = ax² - 2axs·x + axs² + ys.

Eine Methode zur Umwandlung in die Scheitelpunktform: ax² + bx + c → a(x² + (b/a)x) + c → a(x + b/(2a))² - b²/(4a) + c. Man ergänzt so, dass ein vollständiges Quadrat entsteht. Wichtig für das Ableiten des Scheitelpunkts.

Jede Parabel ist achsensymmetrisch zur Geraden x = xs (Scheitelpunkt-x-Koordinate). Die Symmetrieachse verläuft senkrecht durch den Scheitelpunkt. Punkte mit gleichem y-Abstand vom Scheitelpunkt haben gleiche y-Werte.

Die Berechnungen basieren auf aktuellen mathematischen Formeln und Standards. Die Genauigkeit hängt von der Qualität der eingegebenen Daten ab. Für rechtlich bindende Berechnungen solltest du einen Fachexperten konsultieren.

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