Wie der Parameter a die Form der Parabel beeinflusst
Wert von a
Öffnung
Form
Beispiel
a > 1
nach oben
schmaler als Normalparabel
f(x) = 2x²
a = 1
nach oben
Normalparabel
f(x) = x²
0 < a < 1
nach oben
breiter als Normalparabel
f(x) = 0,5x²
-1 < a < 0
nach unten
breiter als Normalparabel
f(x) = -0,5x²
a = -1
nach unten
Normalparabel (gespiegelt)
f(x) = -x²
a < -1
nach unten
schmaler als Normalparabel
f(x) = -2x²
Je größer |a|, desto schmaler die Parabel. a < 0 spiegelt an der x-Achse.
Nullstellen und Diskriminante D = b² - 4ac
Anzahl der Lösungen je nach Wert der Diskriminante
Diskriminante
Nullstellen
Lage zur x-Achse
Beispiel
D > 0
2 verschiedene
Parabel schneidet x-Achse
x² - 5x + 6 = 0 → x₁ = 2, x₂ = 3
D = 0
1 doppelte
Parabel berührt x-Achse
x² - 4x + 4 = 0 → x = 2
D < 0
keine reellen
Parabel liegt über/unter x-Achse
x² + 1 = 0 → keine Lösung
D = 0: Scheitelpunkt liegt auf der x-Achse
Darstellungsformen quadratischer Funktionen
Die drei Hauptformen und deine Eigenschaften
Form
Formel
Vorteil
Normalform
f(x) = ax² + bx + c
y-Achsenabschnitt c direkt ablesbar
Scheitelpunktform
f(x) = a(x - xs)² + ys
Scheitelpunkt S(xs|ys) direkt ablesbar
Faktorisierte Form
f(x) = a(x - x₁)(x - x₂)
Nullstellen x₁ und x₂ direkt ablesbar
Die Formen sind ineinander umwandelbar und mathematisch äquivalent.
Häufig gestellte Fragen zum Quadratische-Funktionen-Rechner
Was ist eine quadratische Funktion?
Eine quadratische Funktion hat die Form f(x) = ax² + bx + c, wobei a ≠ 0. Der Graph ist eine Parabel, die nach oben öffnet, wenn a > 0 ist, und nach unten, wenn a < 0 ist. Der wichtigste Punkt ist der Scheitelpunkt, der das Maximum oder Minimum der Funktion darstellt.
Was ist der Scheitelpunkt einer Parabel?
Der Scheitelpunkt S(xs|ys) ist der höchste oder tiefste Punkt der Parabel. Er wird berechnet mit: xs = -b/(2a) und ys = c - b²/(4a). Alternativ kann ys auch mit f(xs) berechnet werden. Bei a > 0 ist es ein Minimum, bei a < 0 ein Maximum.
Wie berechnet man die Nullstellen einer quadratischen Funktion?
Mit der Mitternachtsformel (abc-Formel): x₁,₂ = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a). Oder bei normierter Form (a=1) mit der pq-Formel: x₁,₂ = -p/2 ± √((p/2)² - q). Die Diskriminante D = b² - 4ac bestimmt die Anzahl der Lösungen.
Was sagt die Diskriminante aus?
Die Diskriminante D = b² - 4ac zeigt: D > 0: Zwei verschiedene Nullstellen, Parabel schneidet x-Achse zweimal. D = 0: Eine doppelte Nullstelle, Parabel berührt x-Achse. D < 0: Keine reellen Nullstellen, Parabel liegt komplett über oder unter der x-Achse.
Was ist die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion?
Die Scheitelpunktform ist f(x) = a(x - xs)² + ys, wobei S(xs|ys) der Scheitelpunkt ist. Diese Form zeigt direkt Position und Öffnung der Parabel. Die Umrechnung aus der Normalform gelingt durch quadratische Ergänzung oder mit xs = -b/(2a).
Was bedeutet der Koeffizient a?
Der Koeffizient a bestimmt: Öffnungsrichtung (a > 0 nach oben, a < 0 nach unten), Streckung (|a| > 1 schmalere Parabel, |a| < 1 breitere Parabel). Die Normalparabel hat a = 1 und Scheitelpunkt im Ursprung.
Was ist der y-Achsenabschnitt?
Der y-Achsenabschnitt ist der Punkt, an dem die Parabel die y-Achse schneidet. Er wird direkt durch c bestimmt: f(0) = c. Der Punkt (0|c) liegt immer auf dem Graphen.
Wie wandle ich zwischen Normal- und Scheitelpunktform um?
Von der Normalform zur Scheitelpunktform berechnest du zuerst xs = -b/(2a), setzt xs in f(x) ein und erhältst ys. Danach setzt du a, xs und ys in a(x-xs)² + ys ein. Von der Scheitelpunktform zur Normalform multiplizierst du a(x-xs)² + ys vollständig aus.
Was ist die quadratische Ergänzung?
Die quadratische Ergänzung formt ax² + bx + c so um, dass ein vollständiges Quadrat entsteht. Aus der Normalform wird dadurch eine Scheitelpunktform. Das ist besonders nützlich, wenn der Scheitelpunkt ohne Ableitung oder ohne Einsetzen in eine fertige Formel hergeleitet werden soll.
Wie erkenne ich die Symmetrieachse?
Jede Parabel ist achsensymmetrisch zur Geraden x = xs (Scheitelpunkt-x-Koordinate). Die Symmetrieachse verläuft senkrecht durch den Scheitelpunkt. Punkte mit gleichem y-Abstand vom Scheitelpunkt haben gleiche y-Werte.
Welche Form der quadratischen Funktion sollte ich eingeben?
Für Nullstellen, y-Achsenabschnitt und Diskriminante ist die Normalform ax² + bx + c am praktischsten. Für Scheitelpunkt, Verschiebung und Öffnung ist die Scheitelpunktform a(x-xs)² + ys übersichtlicher. Wenn du beide Formen hast, prüfe nach dem Umformen, ob sie für denselben x-Wert denselben y-Wert liefern.
Wie prüfe ich die berechneten Nullstellen?
Setze jede Nullstelle wieder in die ursprüngliche Funktionsgleichung ein. Das Ergebnis muss 0 ergeben oder wegen Rundung sehr nahe bei 0 liegen. Bei einer doppelten Nullstelle berührt die Parabel die x-Achse nur, statt sie an zwei Punkten zu schneiden.