Quadratische Gleichung lösen

Löse eine quadratische Gleichung Schritt für Schritt aus a, b und c. Du bekommst die Nullstellen, den Scheitelpunkt und die Faktorform, dazu eine Probe.

Koeffizienten a, b und c

Löse ax² + bx + c = 0 mit Diskriminante, Nullstellen, Scheitelpunkt und Probe.

Nullstellen und Parabeldaten

Diskriminante, Lösungen, Scheitelpunkt, Faktorform und Probe

Gib a, b und c ein.

Quadratische Gleichungen Schritt für Schritt lösen

ƒabc-Formel mit Diskriminante

x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Variablen

a

Koeffizient vor x²-Bestimmt die Krümmung der Parabel und darf nicht 0 sein, weil sonst keine quadratische Gleichung vorliegt.

b

Koeffizient vor x-Verschiebt die Achse der Parabel und geht mit seinem Vorzeichen direkt in die Formel ein.

c

Konstante-Steht für den y-Achsenabschnitt der Parabel und beeinflusst die Diskriminante über den Term 4ac.

D=b^2-4ac

Diskriminante-Trennt die drei Fälle zwei reelle Lösungen, eine doppelte Lösung und keine reelle Lösung.

Rechenweg zum Lösen quadratischer Gleichungen

Der Ablauf bleibt gleich, egal ob die Gleichung glatte, doppelte oder komplexe Lösungen hat.

Schritt	Was passiert	Beispiel
Standardform	Alle Terme werden auf eine Seite gebracht und zu ax² + bx + c = 0 zusammengefasst.	x² - 5x + 6 = 0
Diskriminante	D = b² - 4ac zeigt, welcher Lösungstyp vorliegt.	D = 1
Fall einordnen	Das Vorzeichen von D entscheidet über zwei, eine oder keine reelle Lösung.	2 reelle Lösungen
Lösungen	Die abc-Formel berechnet die Nullstellen mit beiden Vorzeichen vor der Wurzel.	x1 = 2; x2 = 3
Probe	Die gefundenen Werte werden wieder in ax² + bx + c eingesetzt.	f(x₁) = 0, f(x₂) = 0

Die Reihenfolge verhindert die häufigsten Fehler. Erst die Standardform, dann die Diskriminante, dann die Lösungen.

Beispielgleichungen mit Ergebnisbild

Die Beispiele zeigen, wie sich kleine Änderungen bei a, b oder c auf die Lösungen auswirken.

Aufgabe	Gleichung	D	Lösung	Hinweis
Zwei einfache Nullstellen	x² - 5x + 6 = 0	1	x1 = 2; x2 = 3	Gut zur Probe der Faktorform geeignet.
Doppelte Nullstelle	x² - 4x + 4 = 0	0	x = 2	Der Scheitelpunkt liegt genau auf der x-Achse.
Kein linearer Term	x² - 9 = 0	36	x1 = -3; x2 = 3	Die Lösungen liegen symmetrisch um 0.
Nach unten geöffnete Parabel	-x² + 4x - 3 = 0	4	x1 = 1; x2 = 3	Trotz negativer Öffnung entscheidet D über reelle Nullstellen.
Keine reelle Lösung	x² + 2x + 5 = 0	-16	x₁ = -1 - 2i; x₂ = -1 + 2i	Der Rechner zeigt den komplexen Zahlenbereich separat an.

Bei Dezimalergebnissen ist die angezeigte Probe gerundet. Für exakte Umformungen sollten Brüche oder ungerundete Werte verwendet werden.

Typische Fehler beim Lösen vermeiden

Viele falsche Ergebnisse entstehen nicht durch die Formel, sondern durch Umformung, Vorzeichen oder zu frühes Runden.

Stelle	Risiko	Kontrolle
a-Wert	a wird versehentlich als 0 übernommen oder beim Teilen falsch verändert.	Vor der Formel prüfen, ob wirklich ein x²-Term übrig bleibt.
Vorzeichen bei b	Aus -b wird beim Einsetzen schnell das falsche Vorzeichen.	Den Wert von b mit Vorzeichen notieren und erst danach in -b einsetzen.
Wurzelterm	Nur die Pluslösung wird berechnet, obwohl zwei Vorzeichen nötig sind.	Bei D > 0 immer x₁ und x₂ getrennt ausrechnen.
Nenner	Nur durch 2 statt durch 2a geteilt.	Den gesamten Zähler in Klammern setzen und dann durch 2a teilen.
Rundung	Gerundete Zwischenwerte erzeugen eine scheinbar falsche Probe.	Erst am Ende runden und die Probe mit mehr Nachkommastellen wiederholen.

Wenn ein Ergebnis unplausibel wirkt, ist die Probe mit ax² + bx + c = 0 der schnellste Gegencheck.

Häufig gestellte Fragen zum Quadratische Gleichung lösen

Wann ist eine Gleichung wirklich quadratisch?

Eine Gleichung ist quadratisch, wenn nach dem Zusammenfassen ein x²-Term mit einem Koeffizienten ungleich 0 bleibt. Terme mit x³ oder höheren Potenzen gehören nicht dazu. Fehlt der x²-Term, handelt es sich nur um eine lineare Gleichung.

Wie bringe ich eine Aufgabe in die Form ax² + bx + c = 0?

Zuerst werden alle Terme auf eine Seite gebracht. Danach werden x²-Terme, x-Terme und Zahlen jeweils zusammengefasst. Erst wenn rechts 0 steht, lassen sich a, b und c eindeutig ablesen und sicher in den Rechner übertragen.

Warum ist die Diskriminante der wichtigste Zwischenschritt?

Die Diskriminante entscheidet vor dem eigentlichen Ziehen der Wurzel, welcher Ergebnistyp entstehen kann. Ein positiver Wert liefert zwei reelle Lösungen, 0 liefert eine doppelte Lösung und ein negativer Wert führt zu komplexen Lösungen.

Was mache ich, wenn nur ein x²-Term und eine Zahl vorkommen?

Dann ist b gleich 0. Der Rechner kann diesen Fall direkt lösen. Häufig lässt sich die Gleichung auch im Kopf umstellen, etwa x² - 9 = 0 zu x² = 9. Die Formel bleibt trotzdem ein guter Kontrollweg.

Wie löst der Rechner Gleichungen mit negativen Koeffizienten?

Negative Werte werden mit ihrem Vorzeichen in die abc-Formel eingesetzt. Besonders wichtig ist dabei der Ausdruck -b. Wenn b bereits negativ ist, wird daraus ein positiver Wert. Genau diese Vorzeichenarbeit übernimmt der Rechner konsistent.

Warum können zwei verschiedene Lösungswege dasselbe Ergebnis liefern?

Faktorisieren, quadratische Ergänzung, pq-Formel und abc-Formel beschreiben dieselbe Gleichung aus unterschiedlichen Blickwinkeln. Wenn sauber umgeformt wurde, müssen die Nullstellen übereinstimmen. Unterschiede entstehen meist nur durch Rundung.

Wie gehe ich mit komplexen Lösungen im Schulkontext um?

Das hängt von der Aufgabe ab. In vielen Klassenstufen wird bei negativer Diskriminante nur festgehalten, dass es keine reellen Lösungen gibt. Der Rechner zeigt komplexe Lösungen trotzdem an, damit der vollständige mathematische Fall sichtbar bleibt.

Wie genau sollten die Nachkommastellen gewählt werden?

Für eine schnelle Kontrolle reichen oft zwei oder drei Nachkommastellen. Bei einer Probe, bei technischen Werten oder bei sehr kleinen Koeffizienten sind mehr Stellen sinnvoll. Gerundet werden sollte möglichst erst nach dem vollständigen Lösungsweg.

Wofür brauche ich Scheitelpunkt und Faktorform zusätzlich?

Die Nullstellen lösen die Gleichung, aber Scheitelpunkt und Faktorform erklären das Ergebnis. Der Scheitelpunkt zeigt die Lage der Parabel. Die Faktorform macht sichtbar, bei welchen x-Werten der Funktionswert 0 wird.

Wie erkenne ich Eingabefehler schnell?

Ein erster Hinweis ist eine Lösung, die nicht zur Probe passt. Auch eine unerwartet negative Diskriminante kann auf ein falsches Vorzeichen oder eine nicht vollständig umgestellte Gleichung hindeuten. Dann sollten a, b und c neu abgelesen werden.

Quadratische Gleichung lösen

Koeffizienten a, b und c

Standardform

Nullstellen und Parabeldaten

Quadratische Gleichungen Schritt für Schritt lösen

ƒabc-Formel mit Diskriminante

Variablen

Rechenweg zum Lösen quadratischer Gleichungen

Beispielgleichungen mit Ergebnisbild

Typische Fehler beim Lösen vermeiden

Häufig gestellte Fragen zum Quadratische Gleichung lösen

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